I. 8. iW .jJ), ()0. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Pour la trouver, mettons-Ia sous la forme I Sin.t:-^=h et substituoiis-y <2 = r, cVoü tc?j = di', 



o 



taiidis ([ue les limites de v restcnt O et c/:, pom- un t positif: par suite h == I Sin.V—'': et Ton 



o 

 voit que la valeur tle l'iutégrale priraitive /) est entièremeut indépendaiite de la constante t: sa 



valeur, qui est ^, peut se déduire de beaucoup de manières différentes, comme on verra dans la 



'1 roisième Partie, inais nous la déduirous encore tout de suite de cette même discussion. Il résulte 



de-lil que : 



/ üin. rz. Cos. sz — =- h-\- -h = h pour (r > s) , = - A li == Q pour {r < s) : 



\) 

 et par consequent, que dans la formule (12 .a) il faut distiuguer les cas oii p est plus grand ou 

 plus petit que a et b. Dans les deux premières intégrales au second membre cette recherche n'ofl're 

 aucuue difficultc: mais daus la troisième integrale doublé, dans Ie facteur Sin.xt/, x peut avoir 

 touies les valeurs entre a et b: donc, lorsque p est situé entre les limites a et b, il faut diviser 

 Tintégration par rapport h. x entre les limites a et 6 daus deux parties, dont Tune a pour limites 

 a et p, l'autre p et b. Or, de telle sorte p est toujours plus grand que x dans la première partie et 

 au contraire toujours plus petit que x dans la seconde. Eu égard a ces observations, nous trouvons : 



1 \ pour/?>6>« ; I=/(è) X 0-/(a) X O— ƒ ' y^- dxY.(\= 0. 



r. Y,ombyp>a: I=./(è)X/<-/(a)XO- (''"''^^^x jSw.xy.Cos.ptf^— ('''-'^^dx jli,.x;/.Cos.p,f-f=^ 



^ n ' ■/( o 



= f'/ib) -0~ j '^-—-dx X h = hf{b) - h X ƒ(.*)} '- /'./(i)-/' {f\b)-f{p)] =hf{p). 

 r. i,ombyayp:l^f[b)Xh-f{a)Xh-l ^^^ dx X h ^ {f(b)-f(a)) h ~ h . / {x)i' =■. 



a 



= {/'(^) -/(«)} fi-h {/ib)-f{a)} = 0. 



I = / Cos.py dy I f [x) Cos.xydx = hf{p), ou = O, i 



Donc 



(lUb). 



suivant que p est situc entre les limites a et b ou non. 

 60. Oc la même maniere on peut transformcr dans l'intégrale doublé 



K = ƒ Sin. py dy lf{x) Sin. xy dy 



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