I. S. W. Gl, G2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOJf, 



Or, comme ce résultat est tout-a-fait indépendant de h, faisons-le x, et nous aurons : 



I', = l dy{f{x)Cos.xydy^hf[i))- (12]) 



•o "o 



ilaus cette formule soit ƒ(.?;) =e-~v^; done, comme l'iutegrale iudéfinie 



*/*, „ f ^ , ySin.yx — pCos.yx 

 \f{x) Cos. xij chj = I e-P^^ Cos. xy dy = ^ ^^ ^-^ ^ e-P^ 



nous doiiiie 



» I v I II 11 n 



\f{x)Cos.xijdtj=—- — [39],uoustrouvonsI' =A/'(0)=/j= idy — - — = ƒ d. Arctg.~=- ■ 



J p''-\-<i'- " j p'+y"- J p '^ 



I) o o 



c"csta-dire h = ~, comme uous savous d'ailleuis (voyez la Troisième Partie). 



Par suite ou peut rassembler les résultats des formules (I21J) et (\2ld) daus Téquation : 



f" fb ('"[''. TT , \ 



lCos.pydy\f[x)Qos.pydx = \Sin.pydy {/{x) Sin.xijdx = O, ou =—f{p), j 



I) a o a ( (122J 



selon que p tombe eutre les limites a et è on non ; l 

 oü f{x) est continue entre les limites a et b de x j 



Voila donc Ie théorème de FomiEE, qui a eu une influence si grande dans la theorie des in- 

 ti'grales définies [40]; et a cause de son importance nous moutrerons eiicore une tout autre voie, 

 pour y parvenir: une voie, qui, considérée eu elle-même, est d'intérêt peur notre theorie. 



62. Supposant que f{x) reste continue entre les limites O et b de x, il nous est permis 

 (1'invertir l'ordre des intégrations dans les iutcgralcs doubles 



ƒ/: rb rk rb 



Cos. py dy 1 f{x) Cos. xy dy et / Sin. py dy j f{x) Sin. xy dy ; 



'0 



elles devieuuent dos-lors : 



I ƒ [x) dx j Cos.py. Cos. xy dy=- j f{x) dx j [Cos. [p — .v) y) + Cos. {(p+x) y] ] dy , 

 'o o "o "o 



j f{x)dx j Sin.py.Sin..vydy=- l f{x)dx 1 [Co^. {(p — x)y] — Cos. {{p-\-x) y}]dij. 



o 



[39] Car pour la limito co de x, Ie premier facteur aux fonctions goniométriques devient indéterminé, 



inais cependant fini, et Ie second e—px s'annule : donc, toute rexpression s'cvanouit. Pour l'autre limite O di- 



, O — j) p 



r e—px devient I'unité, par suite la valear de l'intégrale definie devient : a (« ) — r, (0) = O — - — -= -r— — -. 



[40] ScHLÖMiLCU, Journal von Crc41e, Ed. 36, S. 268. 

 Pasje 54. 



