ET METHODES DÉVALUATIOIN DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1. 8. M'. 04, 05. 



jCos. py dy i'fiw) Cos. xrj dx == \^-J {p ^ ^) + \-J{p - 0) + O = | ƒ (p), \ 



\ ^'^ f (129a) 



i&in.pydy l' f [x) Sin. xy dw = \ ^fip + 0) + i -J'ip- 0)- O = -Jip). 



2 2'" '2 2- 



Voyoiis si ces formules valent encore pour j) zéro, et a eet eff'et faisons p zéro dans (123); en 

 passant a la limitc x de k, nous aurous : 



/•" [b ] /■«'&■«. i-s 1 [OSin.hz 



jCos.{Oii)dy jf{x) Cos., vil dx =^ -Lim. I f {z) dz -{- -Urn. j -—~f{z)dz-\- 



II o *o "o 



1 [bSin.kz fbSin.kz ^ n ^ 



+ -Lira. / -— -/(^J.L^=Lim. ƒ ~— f {z) dz ^ -f {% 



"o ó 



r^ /-é 1 [i^Sin.kz 1 ro&'nli „ 1 [''Sin. kz ^, , 



\Sin.{Oy)d,j\f{x)Sin.x,jdx=-Uxu.\ -~-~fiz)Jz+~Um. -^-^dz-^lAm. ---f(z)dz =Q ; 



o o "o n o 



dont la première moiitre que la première des foruiules (129a) vaut pour p zéro: tandis que ia 

 seconde, qui est identiquement uulle, puisque Sin. (O ij) est zéro, démontre que la seconde des for- 

 mules (129a) ne vaut plus pour p zéro. Donc on a: 



ƒ'•" f'' TT f"" f'' n 



Cos pijdj l/{x) Gos.xtjdx = -f{p) ,Q<p<b ;l Sin.pydij jf{x)Sin.xydx = -/(p),0<p<?'.(] 29) 



n o ~ -O ^0 



et celles-ci sent contenues dans les formules (122) lorsqu'on y fait a zéro: elles ne donncnt pour- 



tant que les dernières valeurs, puisque p tombe entre les limites. 



Néanmoins il ne sera pas difBcile de trouver encore par ce même raisonnement Ie cas, ou p 

 ne tombe pas entre les limites O et b. Or, retournons aux formules (123) et supposons eu premier lieu 

 p>&>0; alors les premières intégrales y ont les limites O et — {p — ö); faisous-y s = — y,et 

 les limites deviennent positives, mais 1'iutégrale obtient Ie signe — : les formules (129a) nous mon- 



trent qu'alors les deux tenues -/(p + O) et -\- - - f {p — 0) se détruisent, et on a la 



valeur O correspondaiite des formules (122). Eu secoud lieu soit i>>0>p, alors ce sont les 

 deuxièmes intégrales des équations (123), qui ont pour limites O et — p, et il faut supposer x = y 

 pour rendre les nouvelles limites positives, O et p; mais en ce cas ces intégrales-la obtiennent Ie signe — , 



et dans les formules (129a) les termes --/(p + O) et — "^ ^./'(P — 'J) «^ détruisent encore. 



Ainsi dans les cas, ou p est uégatif ou que Ton ait p>&>0, les valeurs des intégrales (129) 

 sont nulles. 



65. Ces deux voies pour parvenir aux résultats (122) du Nr. 61 sont essentiellement différentes 

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