ET METHODES D'EVALÜATIOiN DES INTÉGUALES DEI INIES. I. 8. N'. 65, 00. 



jdy jf{.T) Cos. {(p — x) y) clv = nf{p) , Lly jf{x) Cos. {(p + .r) ;/} cZx = O , O < p < i . . ( 1 32) 

 o o "o 'o 



jdij \f{x) Cos. {{p — X) y} d.v = nf(p) , \d,j j/{x] Cos. {{p+x) ;/} c/^ = O , O < p < o) [42] . ( 1 33) 



o o 



66. Dans ces deux derniers systèmes on peut eucore doubler la distance des limites de la maniere 



suivaute. Dans les équations (129) substituons - (ip («)-(-'/'( — ■*-')} '^^ -{*'(■«) — ^p{ — •*■')} respecfi- 

 vemeut pour f(x) ; alors nous aurous : 



/ Cos.pydy I {cp{x) + q.{ — x)} Cos.xydx== j Cos.pydii j q,{x)Cos xydx+ j i>{—a-)Cos.xydx\=~ {'i(p) + i^(—p)] , 

 ■|) "o "o 



jSin.pydy j {if(.r)— <f( — x)]Sin.xydx= j Sin.pydijX j (i{x)Sin.xydx — j (p{ — x)Sin.xydx\=- {'iip) — if( — /')); 

 'o "o "o 'o 'o 



OU la fonne de la substitution démoutre que ces formules permettent, que p regoive des valeuts 

 négatives. Dans les iutégrales a facteur tp ( — x] supposons x = — ?, d'ou dx = — dz avec les 

 limites O et — b de ^: ainsi dans les deux équations les fonctions i\ intégrer deviendront égales, 

 tandis que les limites devieniient O et b, — b et O, et que les deux intt'grales se trouvent être 

 liées par Ie signe -)-. Dès-lors on trouve: 



j Cos.pijdy j (p{x)Cos.xijd.t-^-[,j{i,)+cp[—p)} , j Sin.pydy 1 <p{p)Sin.xydx=-{ipip—<i [—p]} ,p^ <6.^(134,) 



Jlaintenant faisons y = — :, dy = — dz, d'oi"! O et — x pour limites de z, et nous aurons: 

 Cos.pydy j q{x)Cos.xydx=- (^(p)+,p(_p)} , j Sin.pydy j q(x)Sin.xydx=- {q{p)—(p(—p)] ,p-<b\ 



Ajoutons ces iutégrales aux précédeutes analogues et il vient: 



ƒ Cos.pydy I (pix]Cos.xydx=n[<p{p)+(f{ — p)],j Sin.pydy j ip[x)Sin.X!/diV=n\^(p{p) — f( — p)],p^<^è^.(135) 

 -vo Lh L.^ Li, 



]ja somme des deux intégrales dans cliaque système (134) et (135) donne encore: 



\d!/ \cp{x)Gos. {{p — x)y] dx = TT.f (p),p^ <è^ (136) 



[42] Cast sous cette foriue que Foukier a Ie premier déJuit les iiitégrali ;<, ijui ;\ juste titre ont 

 garde son nom, savoir dans son ouvragc déja rare : Theorie analytiquc de la chaleur. Paris. Finnin Pidot, 

 1822. XXII. et 640 p. 12. Pi. 4°., p. 431 et 445. 

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