• ET METHODES D'ÉVALUATION DES l.NTÉGRALES UEflMES. I. 9. N\ 69^ 70. 



P" rl 1 1 1 1 1 



T = F (0) / Cos.xd.r 1 — + + ...I = 



J lx TT — a: TC -\- w 2 TT — x 2 n -\- X J 



o 



TT 



ƒ2 rl 1 1 1 11 



LjTr — j/ i7r-f_v jT — y l'^-by i^ — y ' 

 o 



n 

 |tnr lil mbstitution de a: = y, et ensuite: 



1 ^- Y[^)\'' ZSin.ydA-^-''' ^- ^-—P~^_^ +...1 = 21^(0) ['s,:« ,/(/y-&c^[.[71 =^2Y\^)\' Tavg.y- 



inais il est aisé a voir que cettc iutégrale dcvieiit infinie pour la litnite supérieure - de j/; doiic on a: 



["Cos. k X 

 I = Lim. ; F (,/.■) f/j- = F(0) X cc. Lim.'t = ^ (145) 



"o 

 70. Dans les formules (127) et (1-15) soit :\ présent F (.r) = .(■/(,r), ellus devieniieul: 



l.im. / Sin.kx.f{x)dx -| [.*■/(.(,■)] = " (!•■'') 



o 



Lil)]. I Coft.kx.f[x)dx = 00 r*/'(A')l = co . O, indétermiuée. 

 ' x—o 



■ o 



Afin de déterminer cette dernière integrale, et de découvrir en mème temps quelques propriétés 



spéciales de Ia première, nous allons les soumettre ;\ une discussioii particuliere 



A cct eflet substituons y = kx daus 1'intcgrale 



r 



Lim. ƒ Cos. kxf (,?.■) dx ; 



ƒ 



alors les limites par rapport a, y seront ak et bk. Soit p n Ie plus petit multiple de tt surpassant 

 bk, et de même qn Ie plus grand multiple de n au dessous de ak; de sorte que bk = pn — r, 

 et ak = gn -\- s, oü r et s sout des quantités positives, moindres que n. Divisons ia distancc des 

 limites bk h ak en trois parties /? ti — rapn, pn a, qn, qii h. qn -\- s, pour avoir: 



I = Lim. \Cos.kx.f{x)dx=Um. i ~ Co«..r./ [ - ] r/,c + Liin. j' - Cns..v./ (^]dx 4- 



b jir-.-^r /'T 



-Cos.ï.f\-\ dx (11.7a) 



[47] SCHLÖMILCH, Haudljucli der algebniischcn Anah'sis. Zweite Aiiflage, j 71'. 

 Page 65. 



VIS- EN NATl'lRK. VEKH. DER KONIXKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



