I. 9. N\ 70. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRAÏNSFGRMATIGN, ' 



Dans la première des intégrales au second iiiembre f'aisons x = pn — ij, d'oü Cos.x = Cos.pn.Cos y 

 ('t dx = — dij, avec r et O pour limites de y : dans la dernière supposons x^^=qn-\-y, dou 

 Cos.x =■ Cos (jTT.Cos.y, dx = dy et les limites O et s de ij. Ainsi Ton trouve: 



1 = Lim. / -Cox.pn.Cos.x.f — - — dx^^Am. \ - Cog.sA -- <i.r-f-Lim. | -Cosjjn.Cos.T.ü — - — dx 



"n ;jT o 



rl YèA+r— a;\ f'i^l (x\ fn Ja/c—s+a;\ 

 = C'os./prT.Lim 1 -(os.r/l c?^-|-Lim. / -Cos.x.f\-\dx+Co.i.qn.lj\m.j -Cos.x.ü r \dx;{\^lb] 



"o /)T o 



oü sous Ie signe /' on a éliminé les p et les q, puisque pn = bk -\- r, qn =^ak — s. 



Lorsque a ^Jrésent /' (x) reste continue entre les limites a et b, on déduit déja de l'équation (147a) que clia- 



cune des trois intégrales s'annule pour la limite -x de k, a causc du facteur -, de sorte qu'alors I s'annule 

 de mème: mais la formule (1476) nous apprend plus encore. Car lorsque seulement Lim. 5/ (6-|-3) =0 



*" "" ''' ^ ^ I 7 ''' '''\ 



(oü pourtant J [o) peut deveuir innnie), on a pour o = — .- : Lim. — r — ƒ iO + — r — I = ü, 



, , 1 . (bk + r — *'\ ,. . 



doü dans la première integrale de (1476): Lim.-/ , j^ O, puisque r, comme hmite 



supérieure, y est constamment plus grand que :c et reste cependaut, d'après la supposition, moindre 

 que n, de sorte que r — x tombe toujours entre O et ti ; donc 1'intégrale en question s'évanouit dans 

 ce cas. Quand on a de méme Lim. i5/(a — d) = O, (ce qui n'exclut nullement Ie cas oü /(O) peut 



S X S 3' I * — A 



devenir infinie), ou trouve pour 8 = , dans la dernière integrale: Lim. r— / \a — — — =0, 



. 1 lak -\- X — s\ 

 et par suite aussi : Lmi. - y r 1 = O, puisquc s — x tombe toujours entre O et n : doiic 



cette integrale s'annule eucore. 

 Par conséquent on a : 



1 = Lim. I -Cos.x.fij] dx, Um.Sf{b + S) = O, Lim. Sf(a — d) ■= O . . . . (147( 



Maintenant il faut diviser la distauce des limites pn h qn en (q — p) parties, chacuue egale u 

 tt; de tel Ie sorte que, sous les mêmes conditions: 



f /•(/>+l)^] (k\ f{p+-^)~l lx\ /■^;c+l)'rl (a;\ T/'l , ,''^\,| 



I=-Lnn.[j -i^os.x/{-jd.+j y^C'---/(^,y.^'+.+ f -,Co.../(^^|/.,-4-.+ j jfos.x,f^jdx\. 



Dans une de ces intégrales, oü les limites sent c n et (c + 1) n, substituons x = en -\- y, dou 

 dx = dy,Cos.x :^ Cos.cn. Cos. y, avec les limites O et tt pour y; alors elle devieut: 



/•(c+lin-l /^\ /-Tj lcn-\-x\ 

 I -Cos. x.f[-\dx =■ Cos. c n. 1 -Cos. x. f dx. 



ct: o 



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