ET METHODES D'ÉVALUATION DES LNTÉGRALES DÉFINIES. I- 9. N'. 70. 



Ainsi toutes les intégrales obtieunent les limites O et rr, et on peut les réunir sous uu même 

 signe d'intégratioii ; de plus on peut prendre pour facteurs généraux Cos.pn et - Cos. ic et Ion 

 trouvera : 



i==a,.,.xi,nj>«.^4Af-'-f')-/('^'|^')+..+c..,((,-ri,)/('-'--^-+-1l. 



o 

 Ijorsque f{^) est une fonction décroissante entre les limites O et tt, alors la série sous Ie sigue 

 d'intégration est convergente, et sera contenue entre zéro et Ie premier terme de la série: cVst-a- 

 dire, quand on remet pour p n sa valeur bk -\- r : 



Cos.p7i.Lini. ƒ Cos.xdxyiQ 'i^l'C^Cos.pnAAm. \ - Cos. xdx f l 



o "o 



'T + J^ . r -{- .V I r -^ x\ 



Mais ia supposition lAm.o f {b -{- ö) = O donne pour Ö = . : Jjiiii. — 7 — /\b-\- — r — = O, 



1 lbk-\-r + x\ 

 d'oü, puisqu'on a ü<^j;<^»'<^7r et aussi O <^ ?■ -|- -c <C ^ "■ • J''"i- 7/ 1 ;. ^ '^' ^'^'''^ 



1'inéquatiou précédente devient : O <^ I <^ O, c'est-ii-dire 1 = (147(/1. 



Quand an contraire ƒ (.1;) est une fonction croissante entre O et n, alors la série est conver- 

 gente, lorsqu'on l'écrit en ordre inverse: elle est comprise alors entre zéro et Ic dernier terme; doiic, 

 quand on met pour qn sa. valeur ak — s : 



ƒ'r 1 f^ [ lak — s — 11 -\- X 

 - Cos.. f dx y( O <C^l <^ Cos. [(7 — p) 7r} . Lim. ƒ - Cos. x dj J v 

 ü (1 



-|-s— a; ^ ._ re+s — xj n-\-s—x \^ 



Or, d'après la supposition Lim. 8f(a — b) = O on apour è' = 7. :Lim. 7 :/l a — ^ 



1 Jak — TT — s + «\ 

 donc, puisque O <^ .x- <^ s <^ tt, et aussi O <^ tt -|- « — « <^ 2 /r : Lim. -- ƒ I 7 ) ^*'^^ 



conséquent l'inéquation précédente devient: U<^I<;,0, d'oi^i 1 = (147e). 



Lorsque enfin ƒ (a) est une fonction u divers maxima et minima entre b et a, par exemple 

 pour c, ,c^ . . . c,„ alors on na qua. diviser la distance des limites en m -f 1 parties, de b a «,, 

 de c, ;\ Cj,. . . de c» a a, et a considérer chaque integrale séparéirient : d'après les remarques prece- 

 dentes elles deviendront toutes uuUes ; donc I s'évanouira de même. 



Quand ƒ {x) devenait négative, il faudrait supposer ,r = — y, et la conclusion précédente ne 

 cesserait de subsister. Par suite on a toujours : 



Lim. ƒ Cos.kx.f{x)dx = O, si \Am.8f{b^S) = 0. Lim. ^(a— 'ï) = O, pour Lim.A' = x ; (147) 



{ 

 OU pourtant f{x) est toujours supposée continue entre les limites b et a. 



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