I. 9. W. 71,72. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



71. Jjorjque la foiictioii ƒ(.«) ilevient discontinue pour une valeur h de x, située entre les 

 limites b et a, il faut considérer l'intégrale singulicic ; 



jL = Lim. ƒ Cos. /iM'. / (.(•) tLv = li\m. ƒ - Cos.jr.fi ~\ax; 



■ /,- t th—lci 



OU l'on a bubsiitué y =/,■..• .• quant aux limites. kt est co . O, iudétertniaé: si ce produit est nul, 



rintégrale s'évanouit, mais eucore eu cas qu'il ue soit pas nul, on a ici une integrale comme la 



formule (147), et elle sanunle aiusi, pourvu qu'ou ait Lim. 8 f [h ± 3) == 0. Rassemblant toui 

 cecij nous trouvons que : 



Liii). I Cos.k .r.f [x)dx =■ O , Li in. Zr = ao 



t 



(148) 

 Si J[x) devieut iutiiiie pour h ou a, il faut que Ton ait Lim, ()ƒ (6 -J- <^) = C, ( 



Lim t'/(rt — S) =•■ O respectivement. Si f{.t) devieut infiuie pour une valeur h 



entre a et b, il faut avoir Lim. Sf{li ± Ü) = 0. 



Mais lorsqu'ou reprend la discussion préccdeiite eu y rempla^aut Cos. kx par Sin. kx, ou voit 

 que ce changement n'a aucune influence sur Ie raisonnemeut, de sorte que l'on trouve sous les 

 mêmcs conditious que ci-dessus: 



Lim. ƒ Sin.kx.f[x)dx = O , Lim. Z; = x^ (149) 



im. ƒ Sin.kx. f[x 



Quaud b est nul, comme on se Ie proposait primitivement, ou a Ie théorème; 



Lim l Shi.k.v.f{.v)d.v = 0, (150) 



'o 

 Lim. } Cos.k.r.f(,v]d.r = O, (151) 



OU partout O <^ a <;^ co , Lim. k = ze . 

 Si /{j:) devieut infiuie pour les valeurs O, a ou c (O <^(;<^a) de^;, il faut avoir respectivement: 

 \Am.öf{d) = 0, Um.S/(a — ö) = O , ]Am. Sf {c ± ö) = i) ; 



ce.qui satisfait ;\ ce que nous avions unoncc au comnieiicement du Nr. precedent. 



71. A présent dans la formule (1^7) faisons 1'' (.«) = ^- - /{■'^)- Comme E (.r) y est sup- 

 posée continue entre les limites O et a, il faut voir en premier lieu si cette supposition est permise. 



X 



Pour la liuiite zéro de ,r on a Lim. -ë: = 1, donc il faut que ƒ (.r) soit continue pour cette 



valeur zéro de x : mais Ie facteur -^^ — _ perd sa continuité pour la valeur n de x, et devieut 



iufini alors. On a donc pour a <^ tt : 

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