ET METHODES D'ÉVALIJATIÜN DES INTÉGRALES DÉFiNlES. I. 9. N . 72. 



Lim, 



ƒ"' "i-_lf y(-_(.^,/,,, = !!/■(()', , 0<a<7r , Lini. /j = x ; [iói) 



J Sin. X ' ~ 



et il est besüiii d'une uouvelle reclievcliu ])our lo cas ou a est ^ tt: nous y distingueroiis ii-s 

 ti'ois cas de a = ii, a = h -n, a =^ bn -\- c, ou O <;_ c <^ tt. 



Kil pi'emiei- lieu soit a = tt, et divisoiis la distaiice des liinites en deux parties : Q a - n et - n -.i .t, 



nous auroiis : 



Lim. / — f(x)dx = Lun. J i^') >-hv + -~. f{.v)Jx. 



f Sm. X I oui. X J -5'?ï. A' 



'o "o !Z 



2 



Dans la dernière integrale faisons .T = 7r — ?/, d'oü J.i;= — di/, SiH.x^=^Sin.i/, Sin.kx= — Cos. kir. Sin. ky 

 =■■ Cos. ^{k — 1) t} . Sin. ky, donc : 



C^Sin.kx nSin.kx , , , f'-iSin.kx 



Lini- I ^:;, — / (x) dx =^ him. I _/ (x) rf.» -f- Co.<. I (fc — l)?T).Lnn./ ~-,- j [n — .v) dx 



I Sin. X J oin. x j Siit. x 



■ (I o 'it 



= -[/(0) +Cos. [{k~l) tt). f (tt)] , Lim./; = * (15;j) 



. 1 . 



j)ar rintennediaire de la formule (152), que ron peut euiployer, puisijue a -^=^—71 est plus petit 



que TT. On voit que Ie résultat dépend de k en taut que Ie facteur Cos.[{k— l)i) devient — 1 

 OU + 1 poui' "'1 ^ ps-'i" OU impair; aussitót donc que Ton conuait k comme limite d'une quantité 

 paire ou impaire, on a: 



.. r^^^-^^^^^^tiW^( ,,^^^^(0) ; . (ir,i) 



f Sin.x 3 



Lim 



'( 

 r^ Sin. 2 k .r 



ƒ TT Sin 2 k r re 

 -— -f{x)dx==- {/■(()) -/\ TT)} ,Lim./c = X (155) 

 Sin.x 2 

 u 



Lorsque au contraire Torigine de k n'est pas conuuc. cette integrale est iudéterminée, ;i moins que 



/ (tt) ne soit zéro : c'est-ti-dire 



ƒ"■ Sin. kx Tt . ) 



l^^^'^^'^^^^^^^-'^^-'' \ (156) 



= indéterminée, si ƒ (w) n est pas zero. ' 

 Ensuite soit a = hn: si l'on divise la distance des limites en b parties, chacurie de tf, on a : 

 f '-'^ 5; ". kx , f Sin. k x P^ Sin. k x 



['"'Snhkx f Sin.kx p^Sin.kx^ ^, , 



I i^in. X J Sin. X f Sm. x 



Lim 



I Sin. X ' ' ' J 



o ( 



[<.':+^)^Sin.kx ._ ... Cl'-^Sin.kx 



) ^' 



Pa^e 69. 



J ASm..c J Sin.x 



