1. 9. N'. 72. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Maiiitenant dans quelque integrale a limites en tt {c-\- l)n substituons a; = cn -f- y, alors cl.r = ilt/, 

 Sin.a; ^= Cos.cn.Sin.y, Sin.kx= Cos.ckn.Sin.ky == Cos. ^{k — 1) c ttJ .Cos. ctt. "Sm. ^y, tandis que 

 les limites de y deviennent O et ti ; et il vient: 



I -— fi^^) dx = Cos. {{k—\)cn\. ƒ -~ ƒ (c n -\- x) ch: 



J om. X ' ^ ' j Sm. X 



CT O 



Substituons ce résultat dans les intégrales de l'équation précédeute, observons que Cos. ^(k — l)2c7r} 

 = 1, Cos. \^{k — l)(2c — l)""} = (^os. |(^ — l)'^}» öt faisoiis usage des résultats de la formule 

 (153); nous obtiendrons: 



ƒ ~ fOl7l fCJj TT TT 



~-/^.r)</.r= [/(0)+<7os.(i-_l)7T} /(tt)] +-(7o..((A--l)4[/(7r)-|- Co..{(A--l )^} /(2;t)] + 



(I 

 + l[fi'Zn) + Co4ik-l)n}.f{'^n)] + ... + ^^Cos.{{b-\)Jc-l)n]lf{{b-\^^^ 



OU puisque Cos. {b{k—l)n]. Cos. {{k—l)rT} =-. Cos. [{b—l){k—'[)n} : 



jr-f{^)dx^-[f{Q) + 2Cos.{{k-\)n]f{:i)^2f{ln)^-lCos.[{k-\)7,],f(^n)+... 



+ 2(7os. {(6-l)(A--l)7r)\/{6_l)7r} 4-Cos.{6(A--l)7r} /,Kj=^[{/(0) + 2/(2^) + 2A4-i) -1-..,} + 

 -\-9.Cos.{{k—\)n).[f{n)^f{2,n)-\-...)^Cos.[h[k—l)Ti].f{bn)\,Um.k==.c . . (1,57) 



Or, pour k impair de la forme 2 i' -}- li on a Cos. \^k — l)*?} = Cos.-Zk'n = 1. Mals pour k 

 pair de la forme 2 k' n, on a 'Cos. [{k — 1)tiJ = Cos. {{2 k' — l)7r = — 1, et Cos. [b{k — l)TrJ ^= 

 ('os. {b{2k' — 1)^ = Cos.bn, donc -{-1 ou — 1, seloii que b est pair ou impair; de sorte 

 que dans ce cas-ci il faut distiuguer ces deux fonnes de b. On trouve donc en otant 1'acceiit aux k : 



ƒ^^Sin(l2k IWl n 



—^■^.—~^^f{x)dx==-[f{()) + if{n)+9.f{27r) ^...+ 2/{(è-l)7r) +/(67T)],Lim.yt=x. .(158) 



f^'''^ Sin.Ux 



ƒ-''"' Sin Zkv TT 



--^^f(x]dx ^-[m-2fin) + 2/(3,-r)-. . .-2/ {(2i-l)^} +f(2hn)l T.im.^ = x .( 1 59) 

 kjZ71 cc iv 



o 



l^im,/ ■ ■ ''^^^/(:tOd.r=|f/(0)-2/(^) + 2/^27r)_... + 2/l2H-/((2HlW]j^im-^-==^-(160) 



Lorsqu'on ne sait pas d'avance si k est pair on impair, alors 1'intc'grale est indcterminéc ;\ moins 

 que l'on n'ait toujours ƒ |(2 /i -{- 1) tt} =0 ])Our 2 /; -|- L ^ />. On trouve par conséquent: 



C'2b7T Sin kx Tl 



Lim 



Pase 70 



