ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1. U. N'. 72. 



ƒ( 24 -i- 1 ) T gifi }. ^ jj 



-^-- /■(.,) rf.<:=- [/(O) + 2 /•(2 ;,) + ... + 2/(2 i,r)],Lim./.= « . . . . (102) 



si toujours f[{2h-\-l)n^ =^ O, pour /i <^ b et /i <1 6 respectivemcnt ; 

 f''^ )Stn. k.v 



Li in. 



ƒ''^ iiiTi. kx 

 — ~f{x]dx = iiicléteriiiinée, Liin. A- =: x (l^'-'^) 



lorsqu'oii u'a pas toujours ƒ |(2 // -f- 1) tt} =0, 2 /( + 1 <^ i. 

 Enfin soit a = 67r-j-e, ou c<::^7r; alors ou a par la division de la distauce des limites: 



f''^+':Sin kx , ['•'Sui.kx ['"'+': Sin. I,: x 



Liin. / -— f(x)dx = Lirn. / — ^ f [x)ilx -\- JAm. ƒ f(x)d,v. 



j oin. X ' J oui. X J oz?i. x 



o o 6t 



Dans la dernière integrale soit x ^^ öti -\- i/, elle devient par la niéme substitutiüu de plus haut : 



^ , , ^ f' Sin. k X , 



Cos. Uk — 1) 6 77] . / — . - f{b n + x) dj; 



J Sin. X 



o 



et elle tombe dans Ie cas de la formule (152), puisque (;<^7t; donc la valeur eu est 

 Cos. [{k — IjÖTi}.-/' (Ótt). Quant a la première integrale au second membre, Ic résultat des reclier- 

 ches se trouve dans les formules (157) 11 (lö3). Par suite on a ici, en dislinguant les mêmes cas : 



fi-''+<^Sin.{(2k + l)x} . ^r 



I SinZ /W^^ = ^[/(0) + g/W + 2/(2^) + ---+:^/(^'^)J. • (164) 



o 



r2/.^+cSin.-Zkx ^ ^ 



^'''"- / Sin.x ^^"''^'^"^ = 2[/W-2,/» + 2/(2^)-...+ 2/(2^"r)] (165) 



o 



n2b+\)7T+cSin.2kx 



^'"^j ~^r^f{^)dx = ~[fiQ}-2f(n) + 2f{2n)-...~2f{(Zb+l)n}] . (166) 



o 



(^Tz-^-c Sin.kx n^ 

 Li>n- / "^^r/ W '^■^ = 2 C^'^'^^ + "^'^'^^ '^l + ■ • ■ + 3/(2^'^)] (167) 



•o 



/■!26+l)7r4-c5,>j y^;^ ^ 



^''"' / "S^'^'^""^ '^'^ = i [^'(^'^ + ^■^'^'^''^ + • • • + 2/ (2^'^)]" (168) 



Les deux dernières valent lorsque toujours ƒ {(2 /ï -(- Ij'r) = O pour A <^ 6, /i <^ 6, respecti- 

 veraent; si cela n'est pas toujours Ie cas on a: 

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