I. 9. W. T2, ~~>. THEORIE, PR0P.1IÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO?f, 



ƒ'"+<: Sin. kx, . ^ 

 / (x) dw = iiideterminee f169) 

 Sin.x ' ^ ' 

 o 



OU partout Lim. k = oc. 



Ainsi rintcgrale se trouve uvaluce pour tous les cas, qui peuveut se présenter, ei il est 

 évident que la valeur n'en difiêre pas seulemeiit pour les valeurs de a <^ tt, = tt, bn, t> jt -{- c, inais 

 aussi selon qu'on peut supposer la quantité k, qui diverge vers rinfini, comme étaiit paire ou ini- 

 paire, ou en cas que Ton n'en conuaisse pas rorigiiie. 



Jyorsque encore ou voulait calculer notre integrale pour uu a infini, on ne sait pas si a est 

 un multiple exact de n ou non, c'ests\-dire s'il a la forme bn ou b n -\- c: inais alors les for- 

 mules (157) h (169) mènent toutes aux mêmes résultats : 



' Sin. {{Zk+l)a] 



Lim 



'f 

 '^'' Shi. 2 kx 



I ^^~^-^-^f{x)d.v = -[f(0) + 2/(n) + 2f(2n) + ...]. . . . (170) 



'o 



ƒ^^' Si7l. Ikx , TT r- 

 -^^.^^/W«?^ = -[/(0)-2/(.T) + 2/(2 7r)_...] (171) 

 o 



I ^f;^'/^'^*'^ J[/'(0) + 2/i27T)4-2/(47r)+.,.] (172) 



Li 



o 



. ' Sin. k X 

 Lim. 



OU = indétermitiéi' (17 -'3) 



suivant qu'on a toujours ƒ [2 /< -f- 1) 't | •'= O, O <^ /*<, oo ou non. 

 oü partout Lim. A == ao . 



Dans toutes les formules de ce numero on a supposé que ƒ [x) reste continue entre les limites de 

 Fintégration. 



~ -, r> • /"" (^oü. h X 



io. iassons mainteiiant ;i riutégrale Lim. I -p'^—f{x)dx, analogue a celle, que nous 



e 

 venons d'étudier, et tachons de la déduire de celle-ci. A eet efiVt fai.sons x = .-,+y, d'oü 



d.v := dn, Cos.x = — Sin.y, Cos. kx = Cos. \—k tt 4- kiA avec les limites et a de y. 



\2 '7 2 2 '^ 



Or, Tcxpre-'^sion de Co.^.k.r nous indique qu'il y aura ("i distinguer quatre valeurs de k suivant 



ipi'il a la forme ik', IA-'-}-], i k' -\- 2, i k' — l : alors on aura respcctivement Cos. k .v = 



Cos. [ik'n+ik'y] =Cos.ék\,j, = Cos. (2/.-'7r -|- - tt -f (4/t' -f- 1)//} =■■ — Sin. {(4 /t' + 1) ?/} , 



= Cos. I (2 ^' -I- 1) n- +■( l./;'^-2) ,j\ = _ Cos {( U-' + 2)y} , = Cos. {2 k' n -\ n -f- (t k'—^ y] = 

 .S»i. |(4 A-' — 1)!/J. Occu]K)iis-nous en premier lieu du deuxicme et du quatrième de ces quatre cas, 

 et divisons-y la distance des limites dans deux parties, Tune de — t u O, Tautre de O i^i a — ~n: 

 Pao;e 72. 



