I. 9. iN'. 75. TIlEOIllE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.V, 



o 



= ="^Ki)+4ï)"^---J ^^''^ 



OU partout Li in. k =-= y., 



Pour Ie premier et Ie troisième caSj que nous avons distiiigués au coininencemeut de cette dis- 

 cussion, 011 se trouveiait reduit, eu suivant la même voie, a Tintégrale : 



f Cos. k X 

 Iiiin. I -^^ ■f{x)dx\ 



Sin. X 



et celle-ci sera l'objet de uotre examen au Numero suivant: doiic ici il faut agir autrement. Or, d'après 

 les formules de Goniométrie: Cos.^-kx = Cos. \^,^k -j- 1)^^}. Cos.x -\- &'h.(('± ^ + 1) x]. Sin. x, 

 Cos.{(4A-j-2)j;} =6os.((-i.i- -|- l).?}.CoJ..T — Sin.{l^4<k-\-\)a^.Sin.x, il s'eusuit eu premier lieu: 



ƒ''Cos.4•kx f' ^ f"Sin.((4,k+l)x) 

 — tij'-jdx = Lim. / Cos.f{lk-{-l) x] .fhA di-+J.im. / ^ \ ^ ' —Sin.x.f{x] dx, 

 Cos.x I j Cos.x 



"o o 



^. fCos.Uék+iU) ^ , . f r -, fSin.^iikA-lVr] 



Lim.l ^^-^--'- 'f{x)d.c = Um. ƒ Cos.{(ik4-i]x] f:x)dx—lAm. I ^^~—!~^ Sin.xf{x)d.r. 



1 Cos. X I L ' ' J • ^ / I Qgg j. 



•'o •'.) •;) 



Mais la première integrale au sccoiid membre de ces équations n'est autre cliose que Tiiitégrale (151) 

 et s'annule par couscquent pour tout a positif, entre zéro et l'infiui. Pour trouver la seconde integrale, 



il faut s'adrcsser i Tiutégrale du iVr. 73 et y supposer ƒ («)= Sin. .r ^—^ ƒ , (^) = --^j-^—^/' [.%■), 



L/OS. X L'OS. X 



Sin. c TT 

 aiiii d'obtenir ccllc que Ton a ici. Or on a f [en) = -p /(<-'^) = 1^; ^ais pour une valeur 



«ip) = L , . /ƒ — ^—^ I = 



2c + ] . " • I 2 [Zc + l \ 1 rZc+l , 



de a = — g — TT, OU a J (ax) = ;-- ; — ; — ' / tt = -/ n = co : on 



trouve donc, puisque les cas de 4^ en 2 k -\- 2 coïucident ici, en géiicral pour uu k pair: 



^. f" Cos.Zkx ^ 1 



Lim. I f[x)dx = O , pour a <^-7r, 



J Cos.x ' 2 



"o 

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