I.n, lO.N'. 75, 7G. THÉORIF., PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



f 



Lim. / e±>^^'f{a;)-;A^ = ± -tt i7(0),0 < a < :t, (19(>) 



' ■ bin..v 2 



1 , 



= ±-7iif{0) . . . (197j, OU = X ; -I <a< Qc. . . (198; 



suivaiit que ƒ (c n) est toujours nulle ou non {c <^ a). hlm. k = x . 



EuÜn !ps formules (18:3) :\ (191) et (174) a (182) doiineut lieu a la suivante: 



f' dx 



Lim. ƒ e±'''-'Y(.r) = O . . . (199) ou = x,0<a< oc. (200) 



/ Cos. X 



'o 



suivant que ƒ I ■ — - — n J s'évanouit toujours ou non pour un c <:^a. Lim. k = v3 . 



11 est remarquable que les cas difléients, qu'iutroduiraient les intégrales au facteur S««. A-^ et 

 Cos.kx, se trouvent tous réduits ;\ zéro a cause de la coiidition sous laquelle existe la formule corres- 

 jiondante aux facteurs Cos.kx et Sin.kx respectivement. Et voila pourquoi ici Ie résultat est tou- 

 jours si simple et n'exige auounc des distinctions par rapport a k ou a a, nécessaires auparavaut. 



§ 10. INTÉGR.U.E.'; A FONCTJONS PtlUODIQUE.-^ ET AUX I.IMITES O ET OC .. 



76. A regard de ces intégrales ou a énoncé des opiiiions très-diverses, et par suite on est 

 arrive a des resultats très-différeuts, reposant eu général sur des iiotious erronées des intégrales 

 détinies et sur 1'emploi illégitime de séries divergentes [48]. De la maniere suivante on évite 

 des séries divergentes et par conséquent la faus-eté, du moiiis l'incertitude des resultats [49]. 

 D'après la délinition de Tintégrale déliiiic, formule (3), ou a, en prenant ö pour la limite ini'érieure 

 de rintét'ration : 



ƒ 



ƒ {>■) dx = Lim. ."I- [/•(^) -f /(2 ,5) -I- ƒ (3 ■>■) + . . . -}- ƒ ([« — 1 ] $)], oh q = n ü. 



.■Supposons que /'(*•) soit de la forme / (.r) = r'1 ii>[Sin.ax, Cos. '> t), alors il vicut : 

 ƒ »•■'• q {Sin. « r, Cos. ;)' x) dx = Lim. (^ [;■ ./ (-Sm. « S, Cos. ,5 S) -f ?• • ,, {Sin. 2 « S, Cos. 2 ^^5) -\- ... 

 '' -f- r"- 1 ., [Sin. [ [« _ 1 ] « 0} , Cos. { [n — 1 ] P' <5] ) ] . 



[48] Voycv, par cxcmple Il.i.\BE, qui a traite de ces intéijralcs en particvilier dan.^ Ie Journal von 

 (Mie, Bd. 15, S. 355; Bd. 23, S. 105; Bd. 35, S. IGU. 



[49] Comme j'ai taclic de démontrer dans Ia seconde partie de ma notc ins.'rce au Toite 7 des Ver- 

 liandelingen der Koninkl. Akadcmie van Wetenschappen. 

 Pa«'e 78. 



