ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. f. 10. N . /('.. 



Faisons n = Zab :i -\- 1, et doiic q = 2al}id-{-8: mettoiis-y b ö = c, de sorte que b devieiit 

 infiiii, alors q = 2, t ac -\- d, et notre iutégrale devient: 



I r(? if [Sin. a .v, Cos ^i x-) dx = Li in. 8 r [.f [Sin. u <), Cos. [> S) -\- r (j (Sin. 2 « ü, Cos. 2 [i (J) -f . . . 



+ rSoiir-i qj, ^5;„ oab:, « (), Cos. Zab.i ^^ ö)^ . 

 ]\Iainteiiant prenons a, qui est encore luie quantité tout-a-fait arbitraire, tel que a a et a [i devien- 

 iient des uoinbres enfiers; ce qui est toujours possible, pourvu ([ue « et (j ue soieut pas des 

 iionibres irrationnels: alors Ia périodicité des fonctious Sin. x et Cos. x donnera : 



Sin. [{-Z nea-\- /') u ö] = Sin.fa S , Cos. [{2nea -|- ƒ) j5 S} = Cos./\i ö ; 



et par couséquent : 



q.{Sin. {(-Zriea-^JjuS}, Cos. {{2 n ea -j- J) i3 d}) = q< (Sin.fa S, Cos. f li Ö). 

 On pourra ainsi diviser la série de Téquation précédente en plusieurs périodes: 



ro if (Sin. (( .r, Cos. § x) dx = Lim. S r \if {Sin. u S, Cos. ,5 8) -j- r q [Sin. 2 « ö, Cos. 2 {i S) -{■ ... 

 " ^ ,.2aT- 1 f,, (^Sin. 2 a .T « S, Cos. Za.i^) 

 + »'2«^,f (5w<. « S, Cos. j)' 5) + r2a"+i ,f,(&-«. 2 « 8, Cos. 2 ,5 i5) + .., + r4ö'r-i<^(&-«.2a,7 « (5, Cos. 2 arr jJd~) 

 + 



^ ^(c-l )2aT ,j, (5/„_ „ ^-^ (7o«. ,J S) + ,-(^-02^7+ 1 ,j, (Sin. 2 « (ï, Cos. 2fid) + ... 



+ r2<;"^-i ,,: (&■«. 2 rt TT « (5, Cys. 2 a jt ,3 5j] . . . . {201a) 



= ]yiiu. (■)■ ?■ ( l + r2«T -j- r-»'"-^...-}. r'c-iiav^ y {Sin. « 5, Cos. §d)-\-r<f {Sin. 2aS, Cos. 2 ji S) +.. 



+ j2'"^-lg (S;n.2a7r«3,Cos.2a7ri5 5}] .... (2012/) 

 1 — ,.2fii!r 



= Liin. d r -^ [-( {Sin. a S, Cos. (i 8) -\- r i]f {Sin. 2 a 8, Cos. 2 13 ö) -f . . . 



-f r2«'r-i 9 (Sn. 2 a 71 « c>, Cos. 2 a TT ,')' ())] . . . . (201c} 



Pour pouvüir employer la dernièrc équatiou saus crainte, il faut que c soit fini. Dans ce cas suppo- 



^^ 1 — rSoc "i O — 2 a c TT r2ac,T- 1 



sous r = 1, alors r^' = 1 et la Ibnction 'Y~2^ = Ö ^ — 2anr^'"'-^ "= '"' «^^'^P^^s la 



règle usuclle pour les fonctious indéterrainées ; donc uous aurons : 



.f (Sin. a .r, Cos. [i x) dx = c Lim. 8 [(f (Siw. « 8, Cos. [i 8) -\- (p (Sin. 2 « 5, Cos. 2 jï 8) -|- . . . 

 u 



/■2aT 



-}-(;p (S«. 2 a 71 «5, Cos. 2 a 71 (3 J)] =c ƒ 9 (Sm. « j-, Cos. jJ.r) J.c , . . . (201) 



■ o 

 oi-i Ton a trausformé la serie en iutc'grale de'finie, d'après la formule (3). Ce résultat est entière- 

 meut conforme a la supposition de périodicité, servant de base li la discussion précédente. 

 Pa>ïe 79. 



