I. 10. N\ 77. THEORIE, PROPRiÉTÉS, F0R3IÜLES DE TRANSFORMATION, 



77. Mais ce résultat iie vaut que i)our un c fini, et quand a « et a jJ sout des nombi'es entiers. 

 Gardons cette dernière coudition et passons au cas de c infiui. Alors Ie passage de (201è) a (201c) 

 ii'est plus permis en général, quaud r devient 1'unité; car dans la première on distingue deux fac- 

 teurs, dont Ie premier devient infini : donc pour que l'intégrale ne devienne pas iufinie, il faut du 

 nioins que Ie second facteur soit zéro pour r l'unité, c'est-a-dire, que Ton ait: 



.( {Sin.uxfios.^ix)dx=Q . (202 ) 



o 

 La différeuce du second facteur mentionné et de cette série donnera : 



S=c(5m.«5, Cos.^8)+rf[Sin.ZuS, Cos.2^S)-\-r'^if{Sin.iu5, Cos.SijS\-^...+r^-''^-^<f[Sin.ZanaS, Cos.2arT^3d) 



= —{l~r),, (Sm.2ud,Cos.2§d)—{l—r'^ ),, (Sin.3ad,Cos.S^18)-...- ([—r^"^-^)q (Sm.)lanu8,Cos.2an§d) 



] — r^ l_,.2aT— 1 



=—{l—r)U{Sin.2u8,Cos.2iiS)-\- q,[Sin.3uS,Cos.S^^S]4-. . + q{Siii.2a:ic<S,Cos.2a-iS8] 



1 — r 1 — r -^ 



OU, en ajoutant sous les crochets la série (202), zéro par hypothese: 



1— r 



I = _ ( 1 _ r) [<j ( Sin. ((S, Cos. ;•; J) -f- 2 .j- (Sin .2uS, Cos. 2 j? ^ j + 1 + •( (Sin. 3 « S, Cos. 3 ,3 ö) -|- . . . 



f l ,.2a!r— 1\ 



+ 1 -f (fi (5»!. 2a7ruS, Cos. 2a n p' 8)]. 



Voila donc la valeur de la seconde série de la formule (2016); et son facteur 1 — r reiid la première 



serie convergente, car (1 — r) (1 — r-^v -\- r'^a^r _j_ , . _|. ^(c— liaan-^ = (1 — ,.2caTj ^ m,e 



valeur déterminée, encore pour c infini. Donc la formule (20U) devient sous la condition (202): 



I jt»./. S n ux,Cos^jxdx.= — Lim.tlV (i_ ^2^1^ J q,[Sin.u8,Cos.lj8) -j- 2,( [Sin.2a8,Cos 2[18'j-\- 



J 1 — r-"^ l 



+ ( 1 +-— ^ U(Sin.3 «d~, Cos.'i ,5ó~)-l-...-f- U — ^ ^""^ \i{Sin. 2an a8, Cos. 2 a t,'35T .(203) 



équation, qui vaut encore pour un c infini, 



l r 1 



Lorsqu'on a r = 1 , il vient en premier lieu pour c fini,puisque (1 — r-'-"'^) = (1 — j-Sctj^o 



f 



(f(Sm.ax,Cos.^x)clv=^0 . . .' (201) 



qui coïncide avec l'application de la formule (201). 

 Maintenant supposous : 



Page SO. 



8 :^ / S\^ (f 8\°\' 



1 , alors Lim. ro" = Lim. / 1 = Lim. 1 — - ( ^ (e-^)" = 



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