PARTIE DELXIÈME. 



FORMULES DE TRANSFORMATION GÉNÉRALES. 



1. Les priucijjes cxjjosl's de l;i thuorie des iutégrales déliiiies uuus t'ouniisseiit les moyeiis 

 nécessaires de déduire plusieurs théoièmes géuéraux de traiisformation au sujet de ces fonctions, 

 OU il se trouve sous Ie sigiie d'intégratiou définie uiie foiiction, ou tout-ufait arbitraire, ou souinise 

 h quelques conditious plus ou moins restrictives. Uans les discussions, auxquelles les diverses 

 trausfürmations donneut lieu, il faudra presque a chaque instant faire usage des diverses reinarques, 

 que coiitient la Première Partie: de sorte qu'on peut déja considérer cette Partie-ci comme une 

 application de la theorie des iutégrales défiuies, conteiiue dans la première. 



11 y a quatre genres de ces théorèmes de trausformation. En premier lieu ceux, qui mèuejit 

 a nne évaluation finie d'une integrale définie générale, en fouction ordinairement des coefficients, qui se 

 l)résentent dans un développement de la fouction intégrée. En deuxième lieu ceux, dans lesquels on est 

 conduit a une autre integrale définie générale, qui est plus simple sous quelque point de vue, ou qui 

 offre plus d'avantages pour la réduction dans chaque cas spécial, lorsque la forme de Ia fonction est 

 connue. En troisième lieu les théorèmes, qui conduisent a, des sommations de séries; ces théorèmes 

 peuvent de même servir inversément a la sommation des suites par des intégrales défiuies. Enfin 

 les théorèmes, ou il se trouve encore des intégrations doubles, que Ton ne peut réduire u une 

 seule intégration qu'après la substitution d'une forme spéciale pour la fonction arbitraire; il dépend 

 donc en cc cas de cette forme, si Tintégration doublé est irn'ductible on non h une seule in- 

 tégration. 



Dans Ie cours de cette Partie il faudra souvent employer les valeurs d'iutégrales défiuies 

 spéciales, valeurs qu'on ne trouvera déduites que dans la troisième Partie. Ceci pourtant ne pourra 

 donner lieu a des objections fondées, pourvu qu'on se garde de faire usage de telles formules que 

 l'oii aurait obteuues peut-être :\ Taide du théorème en discussion ; ce dont ou pourra toujours 

 faciiemeut s'assurer par l'inspectiou du lieu cité, oïi se trouve Févaluation de l'iutégrale délinie 

 employee. Dans Ie cas contraire, oü Ton voudrait faire usage de la valeur d'une integrale définie, 

 découlant d'un théorème, qu'on s'occupe de démontrer ou de déduire, on tomberait néccssairement 

 dans la faute sjrave de raisonnement en cercle vicieux. 



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