II. I. N'. 5,4. THEORIE. PROPRIÉTKS, FORMULES DE TRANSFORMATION. 



Mais OU a; 



I f ia x) e—b'^ (lx =■■ I e~!J-^ dx 2 kn Cos. n a x = .Z" An ƒ e—V^ Cos. n a x d.v = 2 hn ~'., — . , , 



/ ' /o L) / O M^a- +»/- 



'o n "o 



lorsqu'ou snbstitue Ia valeur de Fiuttgrale tlcfiuie, trouvée P. III. Méth. 4, N". 11. Douc oii a aussi : 



"i' o o 



= ^A„/ -<Z.;(;t>2 +?/^-) d.l{irq^- +v-)f = ^-A„ / (/ . / ,/ , ^ , = 



2 o' " i Ü+1 «=7^ + 0] 2 o '" ^^p- 

 Nous y avons efi'ectué Tiiitégratiou d'après la formule (6, P. I), et uous y avoiis garde li dessein 

 Ie coëfficiënt w' dans Ie numérateur et dans Ie deuominateur sous Ie Logarithme, afin de faire voir 

 ijue dans Ie premier terme de la série pour la valeur zéro de n, on aura Ie logarithme de 1'uuité, 

 c'est-a-dire que ce terme deviendra ze'ro lui-mênie: aiusi Ton pourra commencer la soramation avec 

 la valeur unité de n, et uier dès-lors les facteurs n- sous Ie Logarithme, qui ])ar suite sortira 

 du sigue de sommation. On aura ainsi : 



r{f{p^)-f{'l'=)) ^'— ^^^ ^A„ = ^^^T UÏOI- A„); [-21 (0) 



"o 

 puisijue ,/ (0) ii'est autrc chose, d'après la sujiposition, (]ue 



Ao + A, + A, + . . . = i A„ = i A„ + A„. 



II faut (lonc pour la validité du résultat (fi) que la fonction /' (.r) puisse se développer coinuie il 

 a été supposé: mais on verra sans peine que Ie raisonnement ne change pas, que ce développement 

 soit une série finie ou iufinie. 



•J-. Appliquons maintenant la methode de diftereutialion successive sous Ie signe d'intégration 



t{pe^')e—'"^'dx, oü a 

 o 

 soit un uombre entier quelconque. Différentions a fois a l'égard de p, et désignons Tefiet de cette 

 opération sur la fonction f{y) par la notation connue f^°-^{ij), de sorte que: 



d<^.f{p e") (i«. f{p e^') / d. p e^A « 



dp^ id.pe^^)^-\ dp > =/^'(pe").(.«>: 



[2] ScHLÖMiLCH, Grunert's Archiv, Bd. 5, S. 152. 

 Pasïe 86. 



