ET METHODES DlVALU.VTION DES IMÉGRALES DEFINIES. H. I. N°. 4. 



et par suite : 



- = ƒ f."'; (p e-'') e"^'' e—axi dx =^ ƒ t\"){pe")(Lv («) 



Ou a supposé tacitemeiit qu' entre les limites O et ^n de x et des limites quelcoiiques de p les 

 a quotieuts diftereiitiels successifs de f{p e") ne devienuent pas infinis. Séparons dans la fonctioii 

 f{pe^') la partie imaginaire, et so\i f{pe")=qi[p,x)-\-ii[p,x)\ alors on obtient: 

 v„w ,,, ... ; (!■"■/ iP e'') _„,; p. f (/',.«) , .fi«.j;(p,«)| 



■' ^' ' dp" [ dp" ^ dp'^ J 



\p d'^.HP,-c) , ^.. d«.xip,.V)^ .1 d«.i[p,x) d -.^iip,^) ^ 



= > Cos. a X \- oin. a .r '^ +i i Cos. a x - - - — oin. a x > 



l d/.« ^ c/p" J ^ i dp" dp" j 



Supposons eucore que la fonction (pe^^) acquière les mêmes valeurs pour les valeurs zéro et 2 tt 

 de X, c'est-a-dire, qu'elle soit périodique; alors Ia même chose arrivera auprès des fonctions ti(p,x) 

 et '/.{p,x) et même auprès des autres (^(p,x} et X(p,x), donc aussi auprès de ƒ("-' (pe-^'). A pré- 

 sent on a : 



d d v ö**"'^' 



-- ƒ(«) (p e':') = f^a+i) (^p Qxi^ -II- — — f.a+\) (p e^') p i e" ; 



dx ' d.v 



donc aussi par rintégration par rapport u x entre les limites O et 2, n : 



^2!r /■2T c^ ) 2t 



ext f{a+\) Q, gxij dx = I ~ /") (p e") dx = ƒ«) (p e^') } , 

 ( d^ Jo 



u •'o 



cest-tVdire prise de O a Sti: uiais d'après la supposition que les valeurs de cette fonctiou soijt 

 égales pour ces deux limites, Ie second niembre de cette équation s'annule. Eu outre puisque 



d. d. n e^^ 



4p dp 



l'équatiou précédente prend la forme : 



[-'^ d d /"-^ 



O = / dx — ƒ(") [p Ê^O = -^ ƒ f'"^ {p e") dx, 

 J dp dp J 



o o 



comme il résulte de la formule (59, P. I). Dès-lors il s'ensuit que rintégrale 



T 



ƒ(«) (pe'^') dx = Constante par rapport a p = C. 



ƒ 



Pour la déterminer, soit p = O : alors il vient : 



r2?r 



») (Oj. 



C = ƒ '/«) (0) dx =/(")(ü) ƒ " dx = 2 n/i") 



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