II. I. N\ 4, o. TIIÉORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.VNSF0RM\T10!V, 



Ainsi l'oii obtient d'après l'équation («) : 



f 





et lorsqu'ou intègre celle-ci a fois de suite par rapport ;\ p.- 



(7) 



lorsque f{pe'') =f(pe'^) =f(p), et que cette fouction f\pe"), ainsi que les << premières dérivées, 

 ne devient jjas iufiuie entre les limites O et Sn de x et certaiues limites de p: observons toute- 

 tbis que celles-ci doivent contenir la valeur zéro de p, puisque autremeut la maniere dont nous 

 avons déteiminé la constante C ne serait plus legale. 



5. On trouve P. III, Méth. 37, W. 12 Tintegrale détinie : 



ri'^ {Cos. x. e^^)f 4- ( Cos. X. e-"]!' , ^ / <; \ / 



ƒ Cos.'^ ar -}- (^^ Sin'^.x 7 \'7 + 1 



o 



EUe douue lieu a uue application très-simple: car soit y'(a;) uiie fonction, ([ui peut se développer 

 salon les puissances de x, savoir 



f{x) =^A„a-; 

 1 



prenoiis successivemeut pour x: Cos. x. e" et Cos. x. e~",* et pour p successiveinent les norabres 

 entiers de 1 :\ c: muitiplious chaquc integrale par la valeur correspondante de An: et nous aurons 

 par l'addition de tous ces résultats : 



ƒ ^ o , ,c.. n ^ A„{Cos..v.e^i)"+ l -—- :;: SAJCos.x.e--'^-')" = - ^ A,, -^- . 



f Cos.-x-\-q^üin.-x i J Cos.^x-\-g^üin.'^x i q \ \q-{-'^ j 



'o "o 



Mais les sommatious dans la première et dans la seconde integrale du premier membre de cette 

 équation ne sont autre cliose que f(Cos.x.e^^) et f (Cos. x. e~^') respectivement: ainsi 1'on pourra de 

 nouveau mettre les deux fonctions sous un même sigue d'intégration . De plus, la sommation dans 



Ie second membre de notre équation est aussi / ( ); ainsi Ton obtient: 



\7"|-1/ 



i^f{Cos.x.e^)+f{Cos.x.e-^'}^^ ^n I q \ 



ƒ 



Cos.^ x-\- q''- Sin."^ .v q \q -^ l 



formule, qui pour la valeur 1 de 5 se reduit h 



[3] Lamaulb, Journ:il de Liouville, T. 11, p. 139. — Dienger, Grunert's Archiv, Bd. 15, S, 119. 

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