ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. I. N'. 5, 0. 



ƒ '^ 



(Cos.x.e^>)-{-f{Cos.x.e-^')}dj; = Trf[-\ [4] (9) 



6. Les deux fouctious Z, (x) et ƒ2 (x), qui sout duveloppables, Tune suivant les Cosinus, 

 l'autre suivaiit les Sinus des multiples de x, 



c c 



/■j (^) = Aq -}" ^ ^nCos.nx , /j {x) = ^BnSin.nx, 



1 1 



peuvent être einployt^es ici en vertu du raisonnemeiit suivant. On a identiquemeut d'après la 

 snpposition : 



f.^ [x) Sin. a X d.v = 23n \ Sin. n 



X. Sin. a X d.v. 



Mais on trouve, P. III, Méth. 3, N'. 15 que la valeur de ces iutégrales définies est: 



r ï 



I Cos. n X. Cos. a x dx = O , ou = — 



** > selon que n est ^ a, ou que n =• 



ƒ Sin. n X. Sin. a x dx = O , ou = — 



J 2 



o 



Ainsi tous les termes des deux soinmations s'évanouisseut, outre ceux oïi l'on aurait n == a: de 

 même Pinte'grale, qui a A^ pour coëfficiënt, s'annule aussi. Donc on a enfin: 



ƒ ƒ, (x)Cos.axdx^=—nAa;\ (10) 



o \ oü a est un nombre eiitier [5]. 



n . 1 ( 



/ f 2 {^') Sin. ax dx==- TT Ba ;\ Q]) 



"o j 



11 y a eucore un cas d'exception: c'est celui oii a est zéro: alors la seconde des iutégrales citées 

 devient identiquemeut nulle, et par suite aussi la formule (II). Cos.ax au contraire devieiit 

 Fuiiité, et pour n = a = O, Cos.nx est aussi égal S, l'unité; donc tous les termes de la som- 

 ination dans 1'équation («) s'évanouissent, mais Ie premier terme au contraire devient: 



Aq 1 Cos.axdx = Kq | dx ^= n k^; 



[4] Sekret, Journal de Liouville, T. 8, p. 489. 



[5] ScHLÖMiLcii, Beilriige zur Theorie bestimmter Integrale. Jena. Frommann, 1843. 4°. (103 S.) 

 II. S. 31. 



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