II. I. N\ 0;, 7. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



ainsi la formule (lOj devient : 



ƒ 



/'i (a-) de =. 71 Ao (12) 



7. Par riutermédiaire des mêmes intégrales défiiiies ou trouvera encore les théorèmes suivauts. 



c 



Soit une fonction ƒ (.r) développable suivant les puissances Ae x, c'est-iVdire ƒ(.«) = Aj -\-JEAn-v", 



alors on aura, a Taide de la formule c" = Cof. a; ± i Sin. x : 



c c c 



ƒ (ü e^A = A o + -2" A„ }}" e"" = A (, + ^ A„ p» Cos. n x -\-i2 A„ p" Sin. n x, 

 1 1 1 



c cc 



ƒ {p e-*') = A o + ^ A„ p" e-"^'' = A ^ + ^ A„ /j" Cos. ?! ^ — z ^ A„ p« »Stn . ?; .« ; 

 1 1 1 



dont la somme et la difiercuee, divisées respectivement ])ar 2 et 3 i, dounent : 



2i 1 



Multiplious la première par Cos.a.ndx, la seconde par Sin.axdx, et iiitégrous par rapport u x 

 entre les limites O et n, uous aurons : 



ƒ^f(ne^') 4-f(pe~") f^ "^ [^ 



■'-i^- — ^-X^-Lh^ i Qog^ axdx = hr, I Cos. ax dx + 2 A„ p" ƒ (Tos. ?ia'. Cos. ax dx, 

 2 y > ; 



u 



— ^- — ^^-^ -Sin.axdx= ^ AnP" \ Sin.nx.Sin.ax dx. 



2i , ^ ; 



o o 



lei les secouds membres dépendent de nouveau des mèmes intégrales définies, que Ton rencontrait 

 dans Ie numero precedent: les mêmes conclusions valeut douc ici quant aux termes des sommations, 

 qui s'évanouisseut, et il restera enfiu : 



I r Co$.axdx=-h.ap''-, I (13) 



° \ oi\ a est un nombre entier [6]. 



—-: Sin. ax dx = - Aap" \ \ n^\ 



f 



Jjorsque a est zéro, il vieut tout comme plus haut: 



f 



2 dx = nXa (15) 



[6] Smaasen, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222. 

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