II. I. N'. 9. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOI, 



lorsqu'on ramèue les deux fractions au dénominateur commun {S — yi) {S-\-yi) = d'^ -\- 7j- et 

 que Ton sépare la partie imaginaire de Ia partie réelle. Maiutenant passons a la limite zéro de 

 fi: alors ou a en premier lieu; 



f(g-S + y O = /(^ + 5 + yO = f il + yi) ; 

 parce que d'après la suppositiou f[x-\-yi) doit rester finie et continue. Donc la dernière integrale 

 s'évanouit et l'on a: 



L =-2Lim. j'j^^-Jiq^yi), Um.8 = 0. 

 Mais il s'ensuit encore de la contiuuité supposée de /(o; -f- y i) que: 



fii + yi) =/{!) + yifii + ^yi), «<*"; 



donc: 



A =-Lim. [2fig)j'-^^ + 2iöj'j^J(^^eyi)l Lim.5 = 0. 



La dernière integrale est nécessairement finie, puisque /(j + 6 j/ i) reste continue; par suite elie 

 s'e'vanouit a. cause de son coëfficiënt 8. Quant a la première integrale définie, on a: 



r 8 dy /■' y ( — ( TT I ■n\ 



j ^r:^ = ] '^- --irdangr- = Ardaug. -^^ - Ardang. — =-_^_-J=,r; 



donc : 



A = -2/(5)7T+0 =- 27r/(ï), 



c'est-il-dire : 



p_Ö^?_j,^(„ „s, 



Combiuons les cquafions trouvées (17) et (18) par voie d'addition et de soustraction : 



\ f{yi)^-~-,=-.f{q) (20) 



j_ (i^+y^ ^ 



Divisons encore la distance des limites — co b oo de ces intégralcs défiuies en deux partics, 

 savoir de — cc a O et de O a oo , nous obtenons : 



—X o _« O 



Dans les premières intégrales de ces équations changeons y en — x, par conséquent dy = — d.i; 

 avec les limites oo et O pour ,x; alors: 

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