II. l, II. NM 1 , 1 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOW, 



11. Voici encore un théorème, qui peut souvent nous servir a décider auprès des intégrales 

 définies, contenant des Logarithmes au dénominateur, si la valeur en est assigiiable ou non. Soit/ (.r) 

 une fonction, qui se laisse développer en série selon les puissances de x: done 



f(x) = A.x^ + 'Bx'--^Cx':+ ... 



oii A, B, C, ... a,b,c,... sont des quautités tout-a-fait arbitraires, les dernières seulement posi- 

 tives. Alors on aura identiquement : 



n dx nAx''+'Bx!>+Ca<=... /■iA(««— 1)+A+B(i*— 1)+B + C(a<^— 1) + C+... 



r^"^r.= ü '^•^■=/ r. '^" 



•b •'o •(, 



Nous avons cliangé Ie numérateur a dessein, afin de pouvoir en séparer diverses intégrales de 



ii-r'> — 1 

 la forme | — ; — - d^, dont la valeur est Z(l-)-p), aiusi qu'on Ie déduit P. III, Méth. 10, N°. 5. 



o '^ 

 Cette remarque nous donne done : 



■IA + B + C + . 



n , da; n 



lx 



■dx-\-Al{l + a)-\-Bl{l +h}-\-Gl{l + c) + 



Attendu que la première integrale défiuie est infinie, cette équation nous apprend peu, a moius 

 qu'on u'ait la relatiou A + B-|-C-|--..= 0: car alors cette integrale acquiert un coëfficiënt nul 

 et s'évanouit par conséquencc. Or, cette équation de condition ue dit autre chose que celle-ci; il 

 faut que la fonction ƒ {x) ait un facteur x — 1 , ou mieux encore, que cette fonction s'évanouisse 

 pour la valeur Tunité de *-. Dans ce cas Téquation précédente devient: 



/(r)^= A/(l + a)+BZ(l + ?0 + C/(l + c) + ... [11] (27) 



ƒ 



CHAPITRE DEUXIE3IE. 



IIÉDUCTIOIV d'lTVE INTEGRALE DEFIIME GENERALE A TNE AUTRE FONCTION 



DE CE GENRE. 



12. Dans Ie chapitre precedent on trouve toujours Ie résultat de l'aualyse tout-a-fait dépourvu 

 d'intégrales définies, et cela en général, parce que ces intégrales acquéraient des coefficients nuls, 

 et s'évanouissaient ensuite. Mais il n'en est pas toujours ainsi: dans la plupart des cas les rai- 

 sonnemeuts, analogues è, ceux du chapitre mentionné, aurout pour résultat une équation, qui 

 contient dans son second meinbre aussi une ou plusieurs intégrales définies, et qui par conséquent 

 ne nous inène pas directemeiit au but que nous nous proposions en géuéral : celui de trouver la 

 valeur évaluée d'une integrale définie. 



[11] EuLER, Institutiones Calculi Integralis, IV Vol. Petvop. 1792—1794. 4°. Vol. 4. S. 5. § 27. 

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