II. II. N'. iö, 14. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Soit inaiuteuaiit ƒ (x) Ie produit de deux autres fonctions, telles que Tun des facteurs ne change 

 pas pnr la substitution de an ± x au lieu de x : par exemple /{x) = qp (x) . 'F {Sin.^ x); oii 

 F(<Sm.2 [aitdbx^) = 'P{{± Sm.x}^) = Y {Siti.'^ x), ce qui satisfait h. Ia condition: — alors 

 cette équation peut s'écrire : 



r , ^ I.VC- 2 ^^■^ i%t<i- i \^ jf^^) . <? (^ - ^) , <? (^ + ^) , ?'(^" — 



ƒ (f (x) . ï [btn.^ X) — = I 1 (oen.^ a:) dx { -f- -j- -f" 



/ X J [ X n — X n -\- X 2 tt — , 



+ ...} + 



+ / ƒ (^ kn+x) , /'" , Lim. A = o. (28*) 



J l kn -^ X 



O 



Lorsque f {x) est une fouctiou trigonométrique, alors f(,jkn-\-x) est uue fonction de même 

 nature, qui reste fiuie avec ƒ(«) entre les limites O et p (plus petit que | n) de x: Ie dénomi- 

 nateur j/cn-\-x au contraire devient infiui pour la limite, 1'infini, de x: par conséquence cette 

 deruière integrale définie s'évauouit nécessairement pour cette limite de k ; et Ton a enfin, avec 

 les déterminations précédentes: 



ƒ <jj{x).i{Sin.'x)—=j Y{Stn.-x)dx\ + + ; +—: + •••} • (2») 



/ ^ j ^ ^ ^ — ^ 71 -\- X Zn — X J 



o o 



li. Des suppositions spéciales quant ;\ la forme de (f(x), qui doit être trigonométrique, 

 comme on a dü Ie supposer, nous permettront de réduire la série iufinie dans Ie dernier membre de 

 cette équatiou a uue quantité finie. 



Soit Cl' (.r) = 1 ; alors Ia série ] |~ + + + +...} = 1 (—~Cot.x4- 4 1.[12] 



donc : 



/"^ JX* fi" f 71 TT 1\ 



/ F(6'^n.^r)-= / ViSin.^x) —~Got.x + — — ^\dx (29) 



J ^ J la;- x'^ X 



o o 



Soit (f' (x) = Sitt. X, alors <p (x) = tf{Tt — x) == — if (ti-j-x) = — (p (2 tt — x) = + «p (2 i+a;) = -J- . . . 



et la série Sin. x \ — | — — 4- + • • -r = 'S'"- ^ ö^ ^^ ^ > C^^l 



[x 71 — X 71 -^ X 2n — X 2:r-|-ic j om. x 



doiic : 



/■"° „ Sin.xdx fi'" 



[12] ScuLöMiLCH, Haudbuch der algebraisclieu Analysls, 2* Aufl. Jena. Frommann. 1851. 83. (344 S.) 

 S. 281. La formule (2) fournit après une legere réduction celle dout nous avons besoin ici. 

 [13] ScHLÖMiLCii, ibid. S. 282. Ferm. (8). 

 Fase 98. 



