ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. IL II. N". 14. 



Soit q^lx) = Cos.x, alors q,(x)=^ — q^{n — .r) ^^ — (^(:ï-\-x) = -{-^[2 71 — .t)=-j- q(-Zn — x) = — ... , 



, . • .. fl 1 i . 1 1 lof 1 71 1) 



et la serie Cos. ;c < 4" -\ •••( = Cos.x \ — -j {■-> , 



[x n — X TT+a; In — x 'i.n-\-x ) \ xSin.x x""- x) 



comme il snit immédiatement de la série précédente ; doiic : 



1 Y{Sxn?x)— -= I F(Sw.^j-) Cot.x-^— Cos.x ^~Cos.x\dx .... (31) 



ƒ X I \ X x'^ X 



•() •'o ' 



Soit (f(x) = Ta7ig.x,&\ovs q>(x) = — ffi(n — x) == -}- (p (tt+.t;)— — q.{-27t — x)=-\-c(i{27r-{-x) = — ..., 



^ /l 1 1 1 1 \ • 1 



et la série Tang.x \ 4- — ; — - — 4- — ...\=Tann.x = 1, [14-1 



\x n—x ii-\-x 2n — x 27r + .c ) -^ Tanrj.x 



comme il suit de la série pour 9 (.i-) = 1 ; done : 



/•" „ Tang.xdx fi^ „ 



i F (Sin.-' x) = 1 F(S»i.» x)dx (32) 



o o 



Soit qi(x) = Cosec.x, alors ip(u;) = qi{i: — x) = — q){7t-{-x) ^^ — (j (2t — x) = -\- iii.{2it-\-x) = -}--> 



,,.0/11 1 1 1 \o 1 1 



et la serie Cosec. x \ — | -j -]-,.. = Coscc. x — = — , 



\x n — X n -\- X 2n — x 2n -\- x j Sin. x Sin,'^ ,r 



comme plus haut ; done : 



/'° dx /■§» dx 

 ^{Sin.^ x)—— = / F {Sin.^ x) — ^ (33) 

 o 'o 

 Soitg) (x) = -Sec. ar, alors (jp(ic) = — (p(n — x) = — q.{7i-\-x) = -|-(j-(27r — x) = -\-q){Z7t-\-x) = — .., 



/lil 1 1 \ f n n l\ 



et la série Sec.x ( ■ + -1- — ... \=Sec,x\ — — — 1- ~r + - > 



\x TT — X ^-{-x 2n — X 2 71 -fa' I \ xSin.x x^ xj 



comme précédemment; done: 



/■" dx Cl'^ f 2 TT n 1 \ 



f F(Sm.*^)— =1 F(5^«.^^•) — — Cosec.2x+~-Sec.x^- Sec.x] dx. . . (34) 



o o 



Soit enfin (f{x) =Cof.x, alors (^{x] == — qp(7T — x) = -\-(f{7t-\-x) = — q){2n — a')= -{-(f,{2Ti-\-x) = — ..., 



et la série Cot. x [ -| 4- — ••• 1 = Cot.x-- = Cot."^ r, 



\x n — X n -\- X 2n — x 2n -\- x j Tang. x 



comme auparavant ; done : 



rY{Sin.'x)~~ = j%(S{n.^a!)-^ (3.5) 



J X. lang.x } lang.^ x 



[14] ScHLöMiLCH, ibid. S, 231. Ferm. (2). 

 Pa^e 99. 13^ 



