n. H. N\ 15, '16. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORHATIOS, 



Si pour (f(x) au Heu de Cos. x, Sin. x. Tang. x, on prenait respectivement P, (Cos.x), F, (Sin.x'), 

 P, {Tang.x), avec la conditiou de F, {y) = — F, {y), les formules (45), (47) et (49) se chan- 

 i'eraient dans les suivantes : 



F (5m.» x). F, (Cos. a;) = - / F {Sin.* x). F, (Cos. x) — 



p^ -^ x^ p f h^ 



o o 



Cos. X dx 

 + Sin.'x" ' ' ^^^^ 



ƒ F (-Sm.» o-). F, iS{n.x) ~f^, = o f F (&«/' ^). F , (Sin.x) -^jlfif-, . . . (52) 

 J P -r ^ I h* -j- Sm.^ X 



o o 



ƒ P(Sm.» ^).F. (Tang.x)-^^ == ['f (Sin.- ,). F. ( Tang. x) —^^-^ . (53) 

 o *o 



Dans toutes ces formules les quantités auxiliaires gardeut les valeurs, qui leur out été assiguées 



par les équations (a). Comme auparavant il faut observer, que F (Sin.^ x) pourvait tout aussi bien 



être remplacée par 7 (Cos.- x), 'F (Tang.- x), etc. 



1 6. Les formules (44), (45) et (46) se prêtent aisément a la methode d'iutégration par parties, si 



pdx Ip\ 



Ion considère que = — d.Arctg, - , En efl'et, on a alors: 



p- -f- X- \xj 



p h(Sin.-x]-^-~=^— h(Sin-x). d.ArdgM^—Arcfg^i^ ^\V[Sin.- x]]-{- JArctg.t-\Y'{Sin.-x) 

 "> I) * ^ o o ' 



p I F {Sin.- x) l^'2 \ = — / Cosjx:F{Sin.-x).d.Arr.ig\X\ = — Cos.x. .Krclg}X\.F(Sin.- a;)| + 

 o o o 



+ [ .\rd.j. (-] • — {Oos. X.F (Sin.- x)} dx , 



"o 



p jf F(5jn.»a;)--^^£-^ = — j Sec.x.F(S{n.-'x].d.Arctg.\^y-= — Scc.x.Arctg.(^\.F(Sin.-x)] + 

 o 'o o 



+ f Arctg. j ^j . ~ {Sec. x. F (Sin.- x)) dx. 



d.Sin.-x 



Quaut aux termes intégrés, pnur la limite supérieure c/o, Ie facteur .\rdg. !-l est Arctg. f — j 



OU Aixtg.{Q), douc nul !ui-même: les autres facteurs F {Sin.- x), Cos.x, Six. x, sont tout-a-fait 

 indéterminés pour cette limite, raais on sait au moins, qu'ils ne peuvent devenir iufinis ; donc 

 leur produit par Ic facteur premier, c'est-ti-dire Ie terme enfier, est zéro pour cette limite. A 



l'autre limite zéro de x, Ie facteur Arcfg. r-\ devient Arctg. (-) ou Arctg. { x), c'est-a-dire, + -^r» 



puisque ici il n\' a aucnn doute sur Ie signe de cette limite zéro de r, : les coefficients Cos. x 

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