F.T METHODES D'ÉVALUATIOX DES INTÉGRALES DÉFIMES II. II. N\ 10, 17. 



et Sec. X devienneiit Tunité pour !a valeur zéro de x, et la fonctioii T {Sin.- x) duvient F(0). Oii 

 a donc par rintermc'diaire des formules citées (41), (4.j) et (46), pui.-que 



(I.Sin.^x „ - r,. , 



=: 2 SiV. X. Cos. X dx = Sm. 2 x ax : 



dx 



rAvdan^. I'-] .r{Sin.\r). Sin. 2 x dx = -^F ,0) + g/J V [Sin. '^ x) ,7;;-;-— "T^T-l- , • (ói) 

 f \xj 2 f h^ Cos.- X -\- g Sin.' X 



'o "o 



["^ Ip\ d- . . ■^ /■'" Cos.'^xdx 



\ Arctang. ['-].— f Cos.x.Y {Sin.-' x)] dx = F(0) + /J F (S/n.- j)— — — , .... (55) 



J \x 1 dx ^ 2, f II- -{- km.- X 



"o "n 



ƒ■" I r>\ d TT ri^ dx 

 ArctaJig.\i-].— (Sec.x.'F{Sin.\ri\dx=-—-'F{0] + Ji\ I{Sin.^x}-- (56) 

 \.r; dx 'Ij h- -\- Sin.- X 

 o o 



17. Toutes les intégrales des N'. 14, 15 sont réduites a des intégrales de foiictions trigono- 



métriques seulement, prises entre les limites O et ^n. Rien n'est plus aisé que de transformer 



celles-ci en des intégrales algébriques, maïs alors il arriverait souvent que des quantités irration- 



nelles les rendraieut trop compliquées : en quelques cas pourtant les résultats sont assez simples 



pdur que nous les ofTrions ici comme exercices de calcul. 



dy 

 Pour Sin. x = ?/, Cos.xdx = dti, dx ••= , avec les limites O et 1 de ?/, les équa- 



tioiis (30), (;32), (37) donncnt : 



f" Sin.xdx r Tang.xdx r ,.. , dx n^ , dx 



hiSin-^-x) = F[Sin.\x) ^ = JF [Sin.^ x) — -- = ƒ F(..'; — ; .(57) 



f X I X I xtot.^x f i' (L — .r^) 



'i1 \t o • "o 



les équatious (33) et (39) : 



/'"- dx r dx /■' dx 



\ F(S»-.^r)— — =-- / YiSin.'-x)— — - = F(.r')-;^y -■.. . (5S) 



I xSin.x I xSin.x.üos.x J x- x' [i — x') 



'o 'o o •> 



et les équations (45) et (51): 



lx h p dx 



l,^ 4- X 



f -F(Sin.'x).¥, {Cos.x) ^ '" ^ == - f F(^\).F, (i/ (1 -x^)} 

 J p^+x^ pj 



f" ,,. Cos.xdx h ri , , dxK'il—x-^) 



\ F{Sin.^x)-^-^—^ = - F(,r-)-^^^^,-' , (50) 



dx 



h^ + X- 



(60) 



Pour Cos.x = 1/, — Sin.xdx = dii, dx = — ~- , avec les limites ] et O pour j/, les 



\^{i — y) 



L'quations (30), (32), (37) donnent: 



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WIS- EN NATLX'RK. VEKII. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



