II. Ü.N'. 18, 19. THEORIE, PROPRIETÉS, F0R.1IL'LES DE TRA.VSFOR.M VTION, 



réquatiuu («) sé troiive róluite a: 



ƒ■" dx n n dx 

 fixP + x-P)Arctg.x— = j / f{xP + x~P}~ [21] i7t) 



11 o 



Lorsqu'oii auiait cu a, traiisformer riiilcgrale 



/ 



dx 

 f{xP + x-P) \rd<j X -— — 

 1 -\- X- 



dx — ^^ / 1 \ — <^y 



la mêuie substitutioii doimerait - — , r = — - — : 1 1 + ~ = : iJar cüiiséquent Ie rai- 



l+X^ 7/2 \ y^j 1 + y^ 



sounemer.t precedent iie subit aucun chaiigemeut et l'üu trouve: 



dx 71 / ' , dx 



ƒ dx n t\ 



f (XP + X-P) Ardy.x j--^— = - j j ,xP + x-P) ^ 



+ x^ ^''^ 



19. liitroduisous encore dans l'iutégrale délinie 



dx /■' , . dx /■". . dx 



/ f{xP + X~P) = / f {XP -I- X-P) - + / f {XP -f X-P) —- 



j x{[±x^) j x{l±x^) J x{l 



±x^) 



1 .y . , dx — dy ill 1\1 ^ y du 



la substitutiou x ^ - dans la deniiere iulei'rale: alors on a - — :== : >— 1 i — - > = , 



!/ "" xj±x^) 2/> (^\ y^)\ l±y^ 



tandis que les limites de y deviennent 1 et O : en renversaiit ces limites on obtient : 



ƒ'■" dx /■' , dx /■' ±xdx 



(I o o 



Or, les deux intégrales dans Ie dernier membre n'ont pas seulemeut les limites mais encore 

 Texpression / {xP -\- x~P) dx en commun: il faut donc prendre la somme des facteurs diflerents: 



1 ±x l±a;2 1 



c est-a-dire — + = — — = -- ; par consequent : 



x{l±x^)^ \±x^ x{l±x^) T ' '■ 



ƒ" dx /■' dx 

 ^(^^ + ^-''^;^ï^^ = / /(xP + .-P)- (76) 

 .) I) 

 Cette formule contient propremeut la réduction de deux intégrales très-différentes : on pourra les 

 combiner par voie d'additioa et de soustraction, en remarquant que 



1 1 n—x^)+{l+x^) 2 1 1 {l+w)^—',l—x^) 2x 

 ._l_ _. . =—; -et 



xil+x^) x{]—x^) x(\—x*) xil—x") ,ï(l— .i^) x.l+x'') x(l—x^) 1—x* 



[31] ScuLöMiLCH, Gruncrt's Archiv, Bd. 4, S. 316. 

 Pasje lOS. 



