II. II. N'. IA, 25. TÜÉORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOiV, 



24. Dans l'intégrale définie 



I /{Sin. 2 x). Cos. xdx= I /{Sin. 2 x). Cos. xdx + jf{Sin. 2 x). Cos. x dx 



o o 'i-r 



TT 



mettez dans la dernière integrale a- = -y, dx = — dij. Cos.x — Sin.y, Sin.2 x =- Sin.-ly. 



. n 

 avec les limites — et O pour y\ renversez les limites et substituez Ie résultat, alors: 



/ès-^ /•*" ri"" t^'' 



/iSin.Zx).Cos.xdx= / f{Sin.2x].Cos.xdx-\- j fiSin.2x).Sin.xdx== j f{Sin.2x].{Sin x-\-Cos.x)dr. 



o "o 'o 'o 



Mettez dans la dernière integrale encore Sin.Zx = Cos.^ y, 2 Cos.2 xdx ■== — ZSin.y.Cos.ydy. 



mais Cos. 2 a; = v/ (1 — Cos.'^ y) = j/ (1 + Cos."" y) (1 — Cos.'^ y) = Sin. y. \/ (1 + Cos.'' y), et 



[Sin. X + Cos. J-) 2 = 1 -I- Sin. 2 a- = 1 -^ Cos.'' y, donc Sin. x + Cos. x = \^ {\ + Cos. ^ y) : 



ensuite les limites de y seiont: Cos} y = O, dunc y ^=—7t; et Cos.'' y =1, donc ,y == 0. Par con- 

 séquent : 



fi"^ f(> 2SinnCosiidv fi~ 



\f{Sin.2x).Cos.xdx = \f{Cos.'- y).\'[\ +C0S.2 y)— " T = / t\Cos''x .Co!<.xrJx\2AP[ . '94) 



.' / 2Sin.y.\{\-^Cos.^yi ]' 



25. Lorsque dans Fintégrale tout-u-fait générale 



ƒ7 (ar) dx 



on met a — ?/ au licu de x, alors dx =^ — dy et les ümiles de y sont a et 0: donc 



j"fix)dx =. j f{a-x] {-d.r) ^ jy(a-x)dx. [2.5] (95) 



o a ü 



Cette équation si simple peut être quelquefois d'une grande utiiité. Par exemple dans Ie cas de 

 fonctions trigonométriques, quaad a est un multiple de j tt: car alors, la fouction étant périodique, 

 il faut que a ait une telle valeur que ƒ (a — x) est egale a f{x); dès-lors cette équation pourra 

 ofl'rir la réJuction d'une integrale plus compliquée a une autre plus simple. Eu effet soit a = ir, 

 et f(x) = xf(Sin. x, Cos.'' x), alors 'f(a — x) =f[n — x) = [n~ x)f [Sin. (n — x), Cos.'' {n—x)] 

 = (ti — x) f [Sin. X, Cos.^ x). La formule (95) devient donc: ' 



[24] Besge, Journal de Liouvüle, T. IS, p. 112, 16S. — Gku.nert, Grunerfs Archiv, Bd. 21. S. 359. 

 [25] Cambridge Mathematieal Jouraal, T. 3, N. 16, p. 168, Nov. 1842. — GuUNERT.Grunert's Archiv, 

 Bd. 4, S. 113. 

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