ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. H. II. N°. 25 — 27. 



I xf{Sin.XyCos.'^x)dx=> l [tv — a;)f{Sin.x,Cos.'^x)dx, 

 o 'o 



tVou ƒ xf{Sin.x,Cos.'^a) dx = {n 1 f {Sin. x, Cos.^ x) dx . [26] (96) 



üu voit que la quantité algéhriquc, contenue clans la première integrale, ne se trouvc plus dans 

 i'autre, et qu'ainsi la dernièrc est beaucoup plus simple. 



26. Supposons x = —- , pij = :, , l — x = ~~- , — dx = — "^i alors aux 



1+P7 i-'« 1+ra {i-\-pyV 



valeurs O et 1 de x correspondent los valeurs: py = = O et pij 



la relation : 



rfix)dx = rf{-^-'~] ^^^'~ =p ff {^^ 



Cette équation peut servir a Ia transformation de la deruière integrale dans la première, dont 

 révaluation est toujours plus simple. 



Quant u, cette substitution comme a celles qui vont suivre, il ne faut pas perdre de vue la 

 remarque faite dans Ie N'. 25 de la première Partie, savoir que la recherche d'un maximum ou 

 d'un minimum de la nouvelle variable entre les limites de 1'ancienne, est absolument necessaire, et 

 iufiuencc directement sur la marche a suivre. Il s'en présentera dans la suite quelques exemples : 

 toutefois il est aisé de voir qu'un tel cas n'a pas encore eu lieu dans les substitutions précédentes : aussi 

 nous abstiendrons-nous de la recherche mentionuée, lorsque Tinutilité en sera assez clairenient visible. 



_dx 

 \/ (1 — p"^ Sin ^ x) 



ƒ 5^ 

 /(l — p"^ Sin."^ x) —j-^^ ^— ^^ — ;; — ^ , on p <C 1) 



Cot.x^ TanQ.v.\/(l-p-^), d'ou =--~r ^-^; mais Sin.^ x = — = 



^■^^ ' ' Sin.-'x Cos.^y ' \Ji^{\—p'^)Tang.^y 



Cos.^ y (1 — p^ Si7i.'^ 1/) — p^ Cos."^ y 1 — »^ 



, ^ . , et 1 — 7^- Sin? X = ^ ^ — ^ = : tandis que les 



1 — p^ Sin.^ y 1 — p^ Sin.^ y 1 — p^ Sin.'^ y 



limites de y seront ^ tt et 0. Donc, en renversaut les limites : 



A'^ ,. , dx Cl^l 1—p^ \dx</{l—p-) Cos? X l—p^Sin.-x 



jA — /^ '"• '^\.. (i_p2Si„.2,(,.) ^j •^[l—2,'-Sin.\vj Cos.Kv \-p''Sin?x^ l—p- "" 

 o o 



= pjL ^-P'- \ ^f (c,s) 



J [l—l^^'Sin^xj \/{\—p''Sin?x) 

 o 



[26] Cette formule a etc dounüc :i déinoiitrer par ^YER^■ER, Gruuerts Archiv, Bd. 2i, S. 110. 

 [27] Legekdre, Exercices, Partie 4, N\ 141. 

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WIS- EX NATCl'RK. VEUII. DER KOXINKL. AKADEJIIE. DEEL VIII. 



