II. II. N°. 29, 50. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRA.NSFORMATION, 



Quand ou supposait clans cette integrale /(.r) == F {.v- — ^pg), on retomberait sur l'iutégrale (101) ; 



/ 1 \ 

 mais la supposition de f{x) = F 1 ) donnerait ici : 



V + -V 



pi — i— I i- = Oi — - — 1 <i^ =.'-(} \ \ — ! ,1, . (110) 



O I' ^ i'-'- ^ \ o o 



30. Soit Tintégrale 



et faisons x'^ -\- 2, p x -\- q- = y, d'oii (-2 x -\- 2 p) dj; = dt/ : il y aura donc un maximum ou 

 uu minimum pour y, correspondant a la valeur de x, qui satisfait a Féquation 2x -\- 2p = O, 

 c'est-adire a x = — p, d'ofi pour y la valeur correspondaute 9* — p^. On en conclut encore que 



dans Tintervalle de .ï = — x a a; = — Fi T~ doit etre négatif, tandis que cette expression est posi- 



d X 



tive pour les valeurs de ,r depuis — p jusques a cc. A préseut on a x = — 'p±\y yy"^. — q^- -\-y), 



d'ou dx = ; donc dans Ie premier intervalle il faut employer Ie sigue — dans 



cette formule, tandis que Ie signe + vaut pour Ie second intervalle. On a donc, puisque en outre 

 on trouve toujours y = er. tant pour x = -\- cc que pour x = — x , 



lfx^+2pxJrq^]dx= l f(x) + Ifix) ^— • = /ƒ(.«)— ;;ill) 



y' ^ ^ ^^ ' J-'^ ^Zl^ip'-q^+x-ry^ ^-Zl^ip'-q-'+x) ]"' 'i^{p-^-q^+x)'' ' 



—00 co ''/2-/'2 92— p2 



parce que la première integrale du deuxième membre de cette e'quation devient identique ü la 

 suivaute, lorsqu'on en reuverse les limites. On peut rendre la dernière integrale plus simple, quand 

 ou suppose X = (p'^ — ?^) (^^ — 1)) ^'oi^ P* — 9^4** = (p^ — q^)s'^, dx = {p'^ ~ q-)2 zdz, 

 tandis que poui: les limites 9* — p' et 00 de a; on trouve respectivement e^ — 1 = 1, d'oü 3 = 0, 

 et 2- — 1 == cc, d'oü s = ± c/; ; donc : 



j /{x^ + 2p X -{- q-') dx -^ ± 21^ (p' — q'). ƒ/((?- -5') (*■' — !)} (^^- ■ ■ (112) 



—cc o 



Dans la dernière on peut employer arbitrairemeut les deux limites supérieures, pourvu que Ton fasse 

 usage en mèrae temps du signe correspondant comme coëfficiënt; Torigiue de ce signe sera claire, 

 lorsqu'on observe que dans l'équation de substitution 



dx (p^ — q'^)2zdz ^ 



oüi dx est toujours positif, il faut que dz ait Ie signe + ou — selon que z est toujours positif 

 ou toujours négatif, ce qui a lieu dans la formule (112). 

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