ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. II. N°. 31. 



31. Dans l'intésrrale 



ƒ 



f{p Sin. X -\- q Cos. .r) dj; 



faisous y =■ p Sin. x -\- (jCos-X, d'oil il rcsulte dy = [p Cos. x — <i Sin. .v) d.v. 11 y aura douc uii 

 jnaximum ou uu minimum de y pour 2^ Cos. x — qSin.x = O, d'oü ,« = .4rci(j. - . Des diverses 

 valeurs de x qui satisfont ii cette cquation il en tombe deux entre les limites O et 2 tt de x, savoir: 

 X = Arctg. l-j et .-c = tt -j- Ardg. (-). Il faut donc diviser la distance des limites en trois 

 parties et écrire 



I f (pSin x-\-qSin.x)dx = \ f(pSin.x ■\- qCos.x)dx -{■ I f[pSin.x-\-qCos.x)dx-\- \f[pSin.x-\-qCos.x)dx. 



n 1 1 1 , -' ■ P '^^"^- ^ + ^ pTang.x^^-j^ 



Ur, la valeur de ti peut s eenre == „; . Donc aux valeurs 



"^ ' Sec.x l^ (1 + Tang.^ x) 



de x: O , Arctg. (-] , , n -\- Arctg. l-\ , 2 re , 



correspondent les valeurs de 



p p 



P--+'J P-- + 9 



H^4) 



comme les limites des intégrales jiartielles relatives a y. Ou en conclut en même temps, que dans 

 Ie premier et Ie troisième intervalle les valeurs de y croissent, et que par conséquent dy doit être 

 positif; au contraire dy doit être négatif dans Ie deuxième intervalle, parce que les valeurs de y 

 y décroisseut. Enfin nous nvous y^ = {p Sin. x -^q Cos. xy- =p'^ Sin.'^ x -{- 2pq Sin. x. Cos. x -^ 

 q'^ Cos.'^ X = p'^ -{- q'^ — [pCos.x — qSin.x)'^, donc pCos.x — qSin.x = ±\^{p'^-\-q- — y-) 



et encore, d'après ce qui a été déduit précédemment, dx = q^ . ^ — ^^ — ïT- ^''' P^i^que dx 



est constamment positif, il faut employer Ie signe -\- dans Ie premier et Ie troisième intervalle, et 

 Ie signe — dans Ic deuxième. Donc enfin : 



/■ [ dx [ —dx ( 



\f{pSin.x-\-qCos.x]dx=\f(x) — +//(•») :: T.-\-\J\-i , « , •> -,'. 



Dans ces trois intégrales la fonctiou intégrée est partout la même: les distances des limites sont 

 respectivement, après que nous avoiis renversé ces limites dans Tintégrale au milieu 

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