ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. 11. N'. 50. 



^Idp d"-i q dp d'^-- g] ' f' d'^-'^q d^ p 

 dx = ) — / dx , 

 dx dx"~^ dx dx"-~} J dx'^-^ cf.r^ 



^ld<'-^p dg (/"-!/> ) ' /' d^p 

 ' -^dx^ ~q] — \ q—^ dx. 

 dx''-i dx (/a,'«-lM / ^ dx" 



k ^^ i 



dq d^ q d"^—^ q , . 



En cas que q, — , — ,... , s'évanouissent tous entre les limites A; et Z de x, la combi- 



dx dx^ dx"—^ 



liaison dü toutes ces équations doniiera uécessairement : 



[l d<^q [' d"p 



jpi^'-'-^-'^'h-d'^' ^'''^ 



'k k 



équatioii, qui peut êtrc regardée elle-même comme unc exteiision de la methode mentionnée d'in- 

 tégration par parties. 



2a— 1 



Soit ;\ présent p = f{x), q = (l — x^) ' , k = — 1, i = -|- 1, alors cette équatiou devient : 



f+l da ( ^^HL] r+\ ?^=d da f(x) 



/ /W^„ [(1-^^) ' } dx^i-l)" / {l-x') 2 -~rd.v (124) 



'-1 — i 



OU les couditions sent satisfaites, puisque q et ses a — 1 difFérentielles s'évauouissent tant pouc 

 X = — 1 que pour x = -\-l. Mais M. Jacobi a trouvé Ie théorème : 



2a— 1, 



(j,a—i (- — -— J Sin.ax 



|(l_y^) 2 l =:(_i)a-iia/2 ^ lorsque y = Cos.x; [39] 



• dy'^~'^ \ ) a 



difiérentions cette équation eticore una fois: Ie résultat 



1(1— yM ^ — -= — Smz.a- — 1(1— ?/M - \dx = (—})'''^l°/^Cos.axdx 



dya V '^ ' ) dx dy [^ •' ' \ 



est Ie facteur de la première integrale dans Féquation (l'^-l), pourvu qu'oa y change x en Cos. x, 

 dx en — Sin.xdx, et que 1'on prenne pour les limites de a-, n et 0. Renversons encore les 

 limites dans les deux membres de cette équation et nous aurons : 



ƒ TT fv '~"~' d<^ f(Cosx) 

 f{Cos.x){—l)^-n°I^Cos.axdx=^{—^)" ƒ {Sin.'' x) ^ —^ '-^ {— Sin. x dx) , 

 I (d. Cos. x)" 



nu b 



leii 



[39] Jacobi, Journal vou Crelle, Bd. 15, S. 1. — Li'ouville, Journal de Liouville, T. 6, p. 69. — 

 Gkunert, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 104. 

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