II. III. l.N'. 59, 40. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMA.TION, 



l'4idz;\(i 



L . d.v == 



« /f/Xocn 71 , TT '^ 



= ^Bani-] -AbnP"^" = ~ ^ MnBa,, q"'"' ; [43]. . . Q-SO) 



oü il faut que a et l soieut des nombres entiers, premiers entre eus. 



40. Les équatious (126) et (127) donnent lieu a quelques cas spéciaux, qui ue sout pas sans 



iiitérêt. Soit en premier lieu qp(.r) = , alors on a aussi 



q (f e^') = 



1 — x' 

 1 1 1 



1 — (p e^y 1 — p'' e^'^ 1 — p'' Cos. rx — p''i Sin. r x 



1 — f^ Cos.Tx -\- ip'' Sin.rx 1 — p^ Cos.rx + ip'^ Sin.rx 



(1 — p'' Cos. rx)'^ ■\- (p'' Sin.rx)''- 1 — 2 p"" Cos. r a- -)- p2r 



et de même 



1 — rf Cos. rx — in^ Sin. r x 



q{pe-^') = 



l — 2p'-Cos.rx + p^ 

 donc: 



f (P ^") -\- ^ {p e~^"') 1 — p^ Cos. rx (p{p e^i) — (p (p e— ^') p' Sin. r x 



2 1 — 2p'-Cos.r.'s + p2r %i 1 — 2p'■Cos.ra;+p2'■ 



Mais ,(j/) = 3-^^= l + j/r.^y2r + y3r^....(3/<^l),JoncB„ =B,=Bo, = B3. = ... = l, 



tandis que tous les autrcs B sent uuls : la condition de j/ <C 1 devient dans Ie cas actuel 

 p<;,l [44]. Pour n'admettre dans la sommation que les B„r, on n'a qu'a remplacer n par nr 

 sous Ie signe de sommation: donc enfin par 1'intermédiaire des équations citeés (126) et (127): 



i'^^W"]'^^U~^'] l—VCos.rx n <=■ 



l \P I \P 1 1 rf^ = 7iAo + -^A„,9»'-, (131) 



j 2 1 — 2p'-Cos.r;F + p2^ "^21^' ^ ' 



o 



/•t/"!-^" —M -«"''' ) pr Sin.rx n <^' 



I \P I _VP L 1^ d^^_;^x„rq"'-; [45] (132) 



J 2i l — Zp'-Cos.rx + p^'' 2 1^'^-" ^ ' 



o 



OU p<C 1' 



[43] Smaasen, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222. 



[44] On aurait pu trouver les mêmes résultats par les formules (12) et (13) de ScnLÖMlLCH, Algebr. 

 Analysis. S. 232. 



[45] Smaasen, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222. 

 Pa^e 130, 



