ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 'l.N\ M, 42. 



1 .E« 



41. Soit eucore cp{j:) = , douc 



1 — X 



q, [p e^M == L _ ^ ^ L_^ ^ ^ i ?1_ A 1 ^r^ ; 



1 — pe^' 1 — p Cos. X — pi Sin. x (1 — p Cos. x)"^ -\- {p Sin. x) ^ 



\^^Cos.x — p" Cos.ax-\-p'^-^'^ Cos.{^ a—\)x] ,p Shi.x+p" Sin.ax+p"+^ Sin.[{a — l)x} 

 ~ 1— 2/)6bs.A-+p2 "*"* l — ZpCos.x+p^ 



_ ^ '[—pCos.x—p''Cos.ax+p"+^Co^.[[a — l)x] .pSin.x+p<^Sin.ax+p''+'^Sin.[{a—l]x} 



we ^}— l~2pCos.x+}}- ~* l—2pCos.x+p-^ " 



1 — x" 



Mais if (.(•) = = 1 + x+x^ + ...-\- x<'-\ donc B,, = B, = B, = . . . = Ba-i = 1, 



1 — X 



tandis que les B suivauts soiit tous iiuls; aiiisi on ii'a qu'a étendre la sommation de 1 u a — 1 



[46]. A présent la substitutiou de tout ceci dans les formules (126) et (127) nous donne: 



ƒ" Vo \p 1—pCos.x — p<'Cos.ax+p'^+^CosJa—l)x} tt»-' 



o 



fllgxA fllg-xi] 



f^ \p / lp pSin.x + p''Sin.ai:-\-p''+^Sin.({a—l)x\ tt"-' 



/ -- ' o,- '- ^^ . ^^ , / '-^ dx = -^ kn <]". [47] . (131) 



ƒ 2 1 1 — 2p Cos. X -\-p^ 2 1 



o 



Les formules (126) et (127), (129) et (130), (131) et (132), (133) et (134), peuvent iuversé- 

 ment être employees dans la sommation des séries, et cela pour quatre cas divers: savoir, quand il 

 s'agit de connattre la somme 



1^ des produits des termes de même rang de deux séries ; 



2° des produits des termes non d'un même rang de deux séries ; 



3° des termes équidistants d'une série; 



4' des a — 1 premiers termes d'une série. 



42. Lorsqu'on multiplie les formules (21) et (22) par Sin.np et Cos.np respectivemeut, 

 après y avoir cliangé q en n, on obtient, en prenant la somme des divers résultats pour toutes 

 les valeurs de ?i depuis 1'jusqu'a c: 



n^fin)S{n.pn ^ ^ Sin.pn. f[fixi)+f{- xi)] -^^ = ([/(xi) -\-f{-xi)] dx^"^^^^, 



Cos. p 11 



^f{n)Cos.pn = ^ Cos.pn. \ \f{xi) —fl^ — xi}] /--— = ƒ \f{^n)—f{-xi)\ dx^- 

 l 1 J n^ -\- x^ J '- -■ 1 « 



[46] Les formules (9) et (10) chez Schlömilcu, Algebr. Analysis, S. 232 auraicnt conduit aux même? 

 résultats. 



[47] Smaasen, Journal von Crelle, 15d. 42, S. 222. 

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