n. III. 5.N\ 48. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



§ 3. TIIÉORÈJIES GÉNÉRAÜX. 



■48. Comme c'est notre but de pavcourir autant que possible toutes les métliodes de réduc- 

 tion, eniplojées dans la theorie des iiitégrales défiuies, il ii'est pas inutile de preudre ici une autre 

 voie dans la discussion, et d'envisager cette partie d'un point de vue plus général; on verra dans 

 Ie cours de l'expositiou que plusieurs des raisouuemeuts précédents s'j rattaclient, ou en découlent 

 facilement, quand ou les prend de ce Cüté-1;\ : néanmoius il valait mieux les laisser a la place 

 qu'ils occupent, afin de mieux faire ressortir la diversité des methodes. 



Ici nous regarderons les fonctious intégrées comme un produit de deux facteurs, dont Tun 

 reste coustammeut arbitraire, tandis que nous supposons a Tautre divers dévcloppements : aiusi Ton 

 reduit des classes entières d'intégrales compliquées a des sommes d'intégrales plus simples, et en 

 dernier lieu enfin a des séries ordinaires ou ii des séries doubles. Cette maniere de voir se trouve 

 exprimée dans la formule 



ƒ6 c rb 

 f{x).q{jc]ch-^ ^Un 1 f{x).x{x,n)dx, (156) 



a a 



c 



quand (f:[x) = 2^ Un%{x ,n)\ (a) 



o 



mais cette réduction est souraise a quelques conditions necessaires. 



En premier lieu, quant au développement de (f {x), c peut être un uombre ilni, ou bien Tinfini ; 

 dans Ie premier cas c'cst une série finie que nous avons a considérer, dans l'autre c'est une série 

 iufiuie. Lorsqu'eile est infiuie, il faut qu'elle soit convergente pour toutes les valeurs de x, situées 

 entre les limites a et & de x, puisque autrement il ne serait pas permis d'en faire usage dans 

 l'iutégration entre ces limites. Eu sccond lieu, dans Ie cas de c infini, 1'existence de Téquation (156) 

 exige, que la série des termes après les intégrations soit encore convergente: autrement Ton ne pourrait 

 considérer une somme de ces termes comme la valeur de la première integrale. Lorsque au contraire c 

 est un nombre fini, il n'est pas nécessaire ici, ni dans Ie développement supposé, de faire atteution h 

 la convergence, puisque alors les deux séries sout finies. On a vu que la série représentante de <p (x) 

 devait converger enlre les limites a et b de x : pour ces limites elles-mêmes la convergence n'est pas 

 toujours nécessaire; en cfl'et il peut très-bien arriver, que dans un tel cas Fintégrale a sommer 



\ j [x^. '([x ,ii)dx, acquière pourtant une valeur finie déterminee. 



L'équation (156), comme tliéorèmo général, donnc lieu a plusieurs tiiéorèmes spéciaus, oü 



il faut distinguer trois cas, qui peuvcnt se présenter: ou Fintégrale \ j {s).y_[x ,n) dx est immédia- 



temeut connue, ou elle est réductibie a l'autre plus simple I / (-i)- Z (j: , 0) t/,r; ou enfin Ie deve- 



a 



loijpement de (j) (a;) peut se faire d'aprcs Ie thcorème de Maclaurin. 

 Paffe 140. 



