ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. o. N°. 49. 



49. Dans Ie cas, ou l'on couuait tout de suite riiitugvale 



ƒ 



b 

 f\x). x(.v,)i) dx = [i,,, (i) 



la formule (156) devient : 



' f{.v). <f (x) d.v = :Sani3„; (157) 



ƒ■ 



oü naturellement Ie développement (a) est sous-enteudu. Plusieurs cas de cette équation sout 

 reniarquables ; ils différent suivaut les formes diflerentes de la fonction ;((.», n). 



Soit X {^ 1 'O = •'*'" ■ alors en séparant Ie terme premier de la sommation, qui quelquefois a une 

 autre forme que Ie terme général, nous aurons : 



j f{x).q.{x)dx = Ao j f{x)dx-\-:SA„ j f{x)x'>dx; (158) 



a a a 



c 



lorsque cp (x) = A ^ -\- ^ A^ x" (<;) 



1 



■Pour qu'on puisse faire un emploi utile de cette formule, il faut connaitre les deux intégrales 

 définies 



j f(x)dx et j f(.r)x"dx; 



a a 



ct il y a beaucoup de cas ou cela a lieu. 



• Applications. Soit f{x) = e-^% a = 0, 6 =-- oo ; on sait par Méth. 38, W. 2, Méth. 4, W. 7 

 et Méth. 3, N°. 7 (Partie III) respectivement, que ; 



r ,1 r . i"/2 r 2 i , 



/ 2 ƒ 2''+i / 2«+" 



"o o o 



U'abord on doit observer ici que la valeur de l'intégrale, pour une valeur générale de n, dift'ère 

 selon que n est pair ou impair; dès-lors il faut séparer la sommation en deux parties, dont Tune 

 ne coiitient que les n pairs, Tautre au contraire les n impairs, de sorte que l'on a : 



I f{x)..l.{j:)dx = A, j'f{x)dx-\-h:A.2„ J f{x].i:-^"dx-\-^A.2n-l j ' f^x) x'^" - ^ dx ; . . . (159) 

 a a a a 



ou c' est Ie plus grand nombre eutier contoiiu dans ,} c; (avec Téquatiou de condition (c).) 



Une telle séparation de la sommation se présentera encore souvent dans la suite. 

 Pour l'applicatiou actuelle, cette équation doune : 

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