H. III. 5. N% 49, 50, THEORIE, propriétés, forjiules de transformatiok, 





/ 



o 



1 f c' ln/2) c'+l 1»1 



= 2l/'^JAo+^A,„— j+ ^A,,-,^,. [58]. . . (160) 



Lorsque ii présent ]a série (c), qui représente Ie développement de ip {x), est telle que tous les 

 coefficieuts a Findice pair Aan, ou tous ceux a l'iudice iinpairAo„_i s'annulent, alors les sommations 

 correspondautes s'évanouisseiit et la formule gagne encore en simplicité. 



50. Soit encore ƒ (.r)=A-/'-i Cos. x, ou f(x)=xP-'^ Sin.x: alors on trouve P. III, Méth. 18, W. C> : 



j aV'-i Cos. X dx = r (ƒ?) Cos. \pn , j .r/'-i Sin. x dx = T (p) Svi. l pn , /; < 1 : 

 o o 



donc on a aussi : 



ƒ a'/'^-»-! Cos.xdx = r (p + n) Cos. r~^7T\ , I x"+"-l Sin xdx = V{p-\- u) Sin. ^ -~ n\ ; 



" O 



mais ici 

 Cos.{^^ny-Cos.{^^±^nyCos.lp.,-Cos.{^^^ 



( p+4:?i \ ( p+in+?. \ _. , „. /p+-4«H-i \ ^. (p+in+S \ 



AïH. TT = OUl. 71 =<.Si«. .' PTT, Sin.\ TT = Om. TT = CoS. l IITT, 



et encore r (p + n) = p"" T (p), d'après la theorie des facultés uumériques. Ici donc il faut de 

 nouveau distinguer entre les cas de n pair et de n impair, et par conséquent séparer la sommation 

 en deux parties et faire usage de la formule (159): ainsi Ton a: 



ƒ'-" c' c'+l 



cf{x)xP-'^Cos.xdx = A^r:^p)Cos.lpn-\-^A2n{—'i)''Cos.lpTi.p^-'>'^rip)-\-.^Ao,,-.i{—l)''Sin.lpTi.p^'>~h^rq}) 



ƒ 



= r(p)(7os.J/)7r.JAo+:S'(~l)«A2„p2;UJ-[-r(/))SiH.ip;T.^f— l)"Aa«-ip^"-''',.(161) 

 * c' c'+l 



:({x]xP-^Sin.xdx = A„T{p]Sm.ipjT^SA2n{—l}"Sin.lpTT.p^"^r{p)+ ^ A2n-\[—\)''-'^Cos.\pTt.j)'-"~y^T{p) 



1 1 



f c' 1 c'+l 



= r(p)Si«.ipTr. Ao+^(— lj«A2«2>2H(i _r(p)6'os..5/57r.^(— l)»A2«_ip2''-i/i.[59](163) 

 ' 1 J 1 



Lorsqu'ou multiplie ces deux équations respectivement par Cos. \pn ti Sin. \p^, et qu'on prend 

 la soinrae des résultats, les sommations par rapport a Ao/i— i se détruisent et il reste : 



[58] Fautive chez Boncompagni, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. 

 [59] BoNXOMPAOXi, Journal von Crelle, Bd, 25, S. 74, 

 Page 14?. 



