II. III. 5. N\ 52, 55. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOIIf, 



52. Enfin supposons /(j) = , alors on trouve Partie III, Méth. 10, "N\ 5 : 



lx 



la?)-!— a?-i p /"'a;?— 1 — xi—^ r i. (/'+"- ^ — icï+''-i p + 7i 



'i + n 



; dx = l-, donc ƒ ; x" dx = / ~ dx = l 



lx q j lx I Ijs 



o "o "o 



lei Ie théorème (158) donne pour les limites a = O, 6 = 1 : 



I 9(a,0 dx = AJ- -\- 2 AnV-^^. [61] (169) 



/ lx ? 1 5 "1" '* 



"o 



53. Eetournons au Numero 49, et supposons a piéseut x{x , n) = Sin.''x ou x (■'' , «) = 

 6'os." j;. Puisque eu géuéial les intégrales définies, dont il faut faire usage, out des valeurs diffé- 

 rentes selon que les puissances des Sinus ou Cosinus sout paires ou impaires, il convieiit de les 

 distinguer d'avance. Ainsi soient : 



(jP , (a) = B 5 + JS- Bon Sin.^" X , et <^- 3 (:r) = C o + ^ C2„ Cos.^".r, J 



[d) 



ou (f^ {x) = 2 B-2„-i &n.2«-i X , ou (p^ (x) == ^Ca,,-! Cos.-"-'^ x;] 

 1 1 / 



OU l'ou suppose toutes ces séries convergentes entre les limites a et Z> de .■?' : dès-lors Ie théorème 

 général (156) devient ici successivement: 



ƒ«■ fb c [h 

 f{(t).<f^ {x)dx=B^ I f{x)dx-\-2B2n 1 f{x)Sin.^''xdx (170) 



a a n 



ƒ'' c (h 

 ƒ(*■). <ï^, {x)dx^ ^B,„_, ƒ f{x)Sm>-U-dx, (171) 



O a 



\f{x).^,{x)dx==C^ j f{x)dx + :èc2„ j f(x)Cos.^'^xdx, (172) 



o 'a a 



ƒ'' c [h 

 f{x).ii^(x)dx= ^Gon-i I f(x)Cos.^-"~^xdx (173) 



Ces theoremes peuvent nous servir, aussitut que les intégrales sous les signes de soramation sont 

 counues: dans Ie cas des formules (170) et (172) il faut encore connaïtre les valeurs des intégrales 

 hors de ce signe. 



Applications. Ou trouve Partie III, Méth. 3, 'N". 5, les intégrales définies: 



[61] KuMMER, Journal vou Crellc, Bd. 20, S. 210. 

 Page 141. 



