ET METHODES D'EVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. O. N'. 55. 



2a+6;2 2'j la+é+1/2 ƒ 



O 



et eiicoic : 



3«/2' 



t+l)*+i 



^iT y-jT la/2 Tt fiTt th'^ 



Cos.-<'xdx = I Sin.-oxdx = , 1 Cos.-a+^xdx ^ \ 81)1.^"+^ x dx = 



Ür, pnisquc la première des intégrales citées est symétrique par rapport u a et b, on voit tout 

 de suite qu'ou aura Ie niême résultat eu mettant pour f(x] dans Ie théorème (170) Cos'-^x, et 

 Sin.-"!: dans Ie théorème (172): car aussi les intégrales, facteurs de Bg et Cq, devieunent égales ; 

 douc pour a = O, b = ^n: 



[{TT fi^ lai „ c la/2 ln/2 n 



l (^ , (r). Cos.2« ;i- d.r = / .r ' {x). Sin.^" ^ rf.r = B „ — - - + ^ Bo^ ^ ^ ,, - 



I n '^ j ƒ ' " ^ ' " 2°/2 2 1 2''+"/2 2 



'd o 



TT fB„ <= 1"'2 ) 

 = l«/2 - 1^ + ^ Bo,, --, (174.) 



Pareillemeut la deuxième et la troisième des intégrales citées, appliquées aux théorèmes (171) et (173), 

 dans Ia supposition de ƒ («) = Cos.'^^x et /'(.e) = Sm.-'^x respectiveinent, donnent aussi Ic même 

 résultat; par conséquent: 



f'lT /-^T c 0« — 1/2 la/2 c 2"~''2 



/ (f 2 (x). Cos.^^xdiV = / <j.i, {x).Sin.^''xdx = ^B2«_i ' — = l"/2 ^Bo„_i ;_^ . . (175) 



■(I o 



Lorsqu'on suppose que f{x) a les forines Cos.-<'+^ x et /S»i.2a+i x dans les théorèmes (170) 

 et (171) respectivement, la troisième et la deuxième des intégrales nous apprenuent que les termes 

 i sommer acquièrent la même forrae. de plus les intégrales hors des sommations ont encore les 

 mêmes valeurs, donc : 



ƒJT fi- Oal2 c 0(7/2 ln/2 

 (p , (.r). 6'os.2«+i ,c dx = ƒ ?■ 3 (x). Sin.^"+Kr (f jr = B „ — - -}- ^ Bo„ - 



II "o 



= 0a/2 & 4. i ^^" 1 ..... (176) 



(3'»/2^ 1 (2n+l)«+'/2j ^ ' 



Entin par l'intermédiaire de la troisième integrale citée, oti verra que les suppositions de 

 f{x) -^ Cos:-'^+^ X dans Ie théorème (171), et de f {.r) = Sin.-'^+^ x dans Ie théorème (173) dou- 

 nent toutes les deux : 



'-^^ j 1 (2n)«+l2 i(2n)«+l2 ^ ■* 



(1 o 



Les théorèmes (174) ;\ (177) sont doubles, mais on n'a pu y doiiner ;\ cliaque paire d'iutégrales la même 

 valeur qu'en mettant les coefficients B„ au lieu de C„ ; donc quand on chcrche la valeur de la seconde 



Page 145. 19 



WIS- EN Kvrnuh. vinut. deü koninkl. .^kademie. deei. Vlli. 



