II. III. 3. N', 55, 56. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



La formule (IS^) uous aide peu: on en peut trouver pourtant une autre plus utile, qui lui cor- 

 respond. En efl'et soit une fonction 



c' 



(f' ^{x) = Dg -\- ^Y)'nCos.7is'x, (ƒ) 



1 



telle, que Ie premier terme Dq en est égal au premier terme du développement de ip^ {x) dans les 

 formules (e) : alors on a : 



c c' 



'fs (.1) — rp'j [x] = 2T)nCos.nsx — SD'nCos.ns' ai. 

 1 1 



Lorsque a. présent on eniploie cette formule, la cause qui donnait un résultat infini, c^est-a-dire 

 Ie terme isolé Dg, u'existe plus; dès-lors on trouve : 



/ {g , [x) ~ ,p' . (x)} -f-^ = — - ^ D„ {e'"l^ Ei. (— nqs)+ e-'"l^ Ei. {n q s)] + 



/ ' ■ q^ -\- x^ % ^ ^ 



"o 



-\-~2D'n[e'"i'<'Ei.{—nqs')-\-e-'n^'Ei.{nqs')] (186) 



2 1 



56. La cousidération de la maniere, dont les intégrations s'cffectuent ici, nous fait voir que 



dans les valeurs supposées a f{x) on aurait pil admettre aussi un facteur Sin.px ou Cos.px, et 



» / . q Sin.px 



qu alors les formules obteuues seraient du meme genre que les précedentes. Soient donc 



q^ + X- 



q Cos.px ^ , ^ 



et -^ successivement les valeurs de f{x) daus les theorèraes (180) et (181), et soient a et o 



de nouveau O et oo . Les intégrales a employer ici se trouvent évaluées Partie KT, Méth. !', 

 N\ 18 et 17: 



ƒ 



ƒ 



'q Sin.px. Cos.nsx (lx ],. „. r , -. , ■. t^. r , ii 



^ -.^ ^ = - fe-fp+'w)? El. [q [p + ns)} — eU>+"'yi Ei. {—qip + n s}} J + 



_j_ _ j^g_(r,-,„)r/ £1 ^q (^p _ „ 5) j _ e{p-!isyi Ei I _ ,^ ^p _ „ ,,jj J _ 



= _ e-pg Fe'"? Ei (q (p — n s)} + e~'>^'l Ei. [q {p -\- n s)] — 

 4 



ePi [c"*'? Ei. [-~q{p + ii •«) } + e-"'<i Ei. {—q(p — «'■<')} ] ; 



' q Sin. p X. Sin .nsxdx n 



- e— PI (e'^^v — e—"^l) , pour ns <^ p, 



q^ -\- x'^ 4 



- (eP? — e— PI) e~"^9 , pour ?* s > p, 



- (1 — e— -PI) , pour ns = p; 



Page 148 



