II. III. 5. W. 57. THEORIE. PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.41VSF0RMATIOX, 



ƒ■'" .X' Cos. p (V. Sin .nsx dx n 



q^-.^.x^ 4 



e-PI {e—"^l — e"«?) , pour ns<^p, 



== - {cP9 -\- e— PI) e—""} , pour ns"^ p, 

 4 



— e~-P'i , pour ns == p; 



tiindis que les intégrales définies 



— TT^-, - = - e-Pi , \ —^-^-7- = - ^ {«P' -Eï- (- P '/) + e-P9 Ei. {p q)] 

 o "o 



out déj&, été citées au Numero 55. 



lei comme au numero precedent Temploi de la première et de la quatrième integrale donne lieu 

 il quelques remarques, en grande partie analogues ;\ celles du numero cité. C'est de nouveau Ie signe 

 de 11 s — p, qui doit nous guider ici dans les discussions, mais en contraste avec ce qui a été observé 

 lil, la forme pour la valeur ns egale a p ne se laisse pas réduire ici aux formes qui ont lieu, 

 lorsque ns est égal ii p\ donc il faut considérer ici quatre cas. Lorsque ns est toujours plus petit 

 (|ue p, alors il faut cmployer seulement la première valeur des intégrales définies : c'est ce qui 

 arrive lorsque la plus grande valeur de ns, savoir es, est plus petite que p. Lorque es est égal 

 ■A p, il faut preudre la somme de la première valeur de 1 a e — 1 et y ajouter la troisième 

 valeur de l'intégrale pour Ie cas de n égal a c, Encore ns peut devenir plus grand que p: alors 

 il peut se présenter deux cas pour la valeur de p, savoir: ou p sera exactement uu multiple de s, 

 supposons ds, (oü donc d doit être plus petit que c) ou Ton aura p =.ds -\- p', c'est-a-dire 

 que p est égal u un multiple de s, augmenté d'une quantité p', plus petite que s; tout comme 

 au numero precedent. Dans ce dernier cas il faut preudrê la première valeur des intégrales en 

 (juestion pour la sommation de n 1'unité jusques a la valeur d de n, et au contraire, de n égal 

 u (i -j- 1 jusques a sa valeur extreme c, il faut emplojer la deuxième valeur de ces intégrales, qui 

 vaut dans Ie cas de 7is plus grand que p. Mais lorsque p est un multiple exact ds de s, il faut 

 séparer Ie terme, qui correspond a Ia valeur d de n: dès-lors il faut sommer la première forme 

 des intégrales en question entre les limiles 1 et d — 1 de n, admettre ensuite la troisième forme 

 pour la seule valeur d de n, et enfin étendre la seconde sommation de«^d-l-l an = c pour 

 la deuxième valeur des mêmes intégrales. A l'aide de toutes ces observations, on obtient enfin par 

 les théorèmes (ISO) et (IHl) les formules: 



Z"" xSin.pxdx n <= tt ^ 



I <T - H — T r = - e-P9^ D„(e"5? -^e-^'^T; =■. - e— Pi ^ D„e''^? , pour p < es . (1 98) 



I q' -\-x^ 4, o 4> —c 



-e-f'ï.2'D„(e''»?-f e— "^7)+ ~Dc e—^PV = -e-P?.^D„c«*?,pourp = es. (194) 

 4 o 4 4 _-^ 



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