U. III. 5. N'. 57, 58, THEORIE, propriétés, formules de transformation, 



Encore quelques observations sur les réductions, que Ton a faites ici. Daus les équations (15)3), 



(194) et (198) on a admis tout de suite Ie terme isolé sous les sigiies de sommation, parce qu'il 

 pouvait y entrer pour la valeur zéro de n; douc ces sommatious commencent a la valeur zéro 

 de n. Daus les équatious (195) et (201) on a transformé la sommation de d -j- 1 a c dans la 

 diftérence de deux autres, qui vont de O a c et de O a d respectivement ; en outre dans la formule 



(195) on a cousidéré Ie premier teruie séparé comme la valeur du terme a sommer, correspondant 

 ?i la valeur zéro de n. Il en est de même dans la formule (196), tandis que dans les formules 

 (201) et (203) les sommations de 1 a d ou de 1 a, t^ — 1 sout étendues a la valeur zéro de 

 n, puisque alors Ie terme a sommer s'évanouit et par suite n'altère pas la valeur originale des som- 

 mations. Dans les équations (196) et (202) la sommation de 1 a d — 1 est diviiée en trois parties, 

 suivant l'équation identique 



c c d— I 



^ P„ = ^ P„ — ^ P„ — Pj. 



d+l O O 



Mais on observe que plusieurs des fouctions sommees contiennent des termes, qui ne difïêreut 

 que par Ie signe de «; dans ces formules, c'est-a-dire (193), (194), (196), on peut donc simplifier 

 l'expression finale par l'observatiou, que Fon a identiquemeiit, pourvu que /(n) --/( — n) : 



^ {/(") +/(-«)) = ^V(«) +^/(») = ^/(«); 



1 ! -/< —h 



unc fois, daus réquatioii uu terme détaché venait se joiudre de lui-mcme i\ cette ferme. Eu d'autres 

 eas, comme dans les équations (197), (J99), (200), une difficulté s'opposait a cette notation, les 

 termes étaut lies par Ie signe — : néaumoins on a pu se servir encore la de cette transformation, 



sauf d'ajoufer sous Ie signe de sommation un facteur , qui donc est positif ou négatif avec 



+ 1/ n- ' 



Ie signe de ri. 11 va sans dire que dans ces sommations, comme dans celles qui y corresiiondent 



dans les formules (IS7) a, (192), les indices de D^ et de E» ne peuvent devenir négatifs, ou en 



d'autres mots que D_„ et E_„ ne sent autre cliose que D„ et E„ respectivement. 



Ce qui a été observé dans ces deux derniers Numéros peut servir de guide dans des discus- 

 sions analogues; dans les methodes oft il s'agit de sommations, il faut toujnurs avoir égard au cliaTi- 

 gement, qui peut s'opércr dans la valeur des intégrales définies, cmi)lojécs en suite de certaines 

 valeurs de Targument /; de sommation [63]. 



58. En vertu de ces observations on peut être plus bref dans Tapplication qui rcsulte des 

 formules (180) et ''181): elle ne diflere de cclle, qu'on a étudiée dans les Numéros 55 a 57, que 

 par la formo du dénominateur, qui au lieu de (7- -j--*"^ sera ici q- — .r-. 



Pour la supposition de / (j-) -— • et de /(.'j) = respectivement dans ces deux 



9' — x^ t]"^ — a;^ 



[63] Il y a quelques Üicorèmcs do ce genre cliez Boncompagni, Journal von Crelle, I3d. 25, S. 74, 

 mais ils sont fajtifs. — Voyez nion Wémoire, Yerli. dor Kon. Akad. van Wetcnscli. Petl 5. 

 Page 154. 



