ET METHODES D'ÉVALUATlüN DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. III. 5. N". 59, 60. 



a ' a a 



oii l'ou a supposé de nouveau Ie développement (a) de cp (.r) dans Ie Numero 48. 



Nous allons donner diverses applications de ce théorème a l'évaluation des iiitégrales détiiiies 

 generales OU :\ leur rcduction a des séries; maïs il convient d'observer auparavant, que ce théorème 



c 



(220) est très-utile dans la theorie des suites. En effct Ton en déduit la soinmatiou JS'«„;'„ comme 



o 

 ie rapport de deux intcgrales défiuies; dès-lors chaque série — car cette sommation ii'est autre 

 chose que Ie symbole général d'une série quelcoiique — subsiste comme un tel rapport de deux 

 intégrales défiuies: donc il importe seulement de trouver auprès de la sommation d'une série, une 

 séparation convenable du terme général, de sorte qu on soit conduit ;\ deux intégrales défiuies, dont 

 la valeur est conuue ou peut être évaluée ailleurs. 



Retournons u la methode en questioii, et distinguons comme précédcmment les divers déve- 

 lnp|)ements de «f (:i'), ou en d'autres mots les diverses formes de y^{x,n). 



60. Soit en premier lieu ^ ('^ > ") de la forme x", c'est-a-dire 



<H.ï)=Ao+:^A„«", (c) 



1 



alors on a pour rinlégrale définie: 



I 'fi-r)- 1 (•<• . 0) dx = [ 'f{x) x" dx = j f[x] dx , 



'f a a 



inti^grale cle'Iiiiie, (rordinairc bcnucoup plus simple que Tautrc 



1'/ {■'■). yA-r,v)d.r. 



Soit encore, suivant notre supposition générale au Numero precedent: 



j'fix)x"dx = G„ / 'f{x)dx , 



(/') 



alors il vient: 



j f {.,)., p{.,)dx== j'fix)dx ^^AuG„ (221) 



^laintenant il y a beaucoup d'intégrales, pour lesquelles on peut cniployer Téquation de réduction 

 (/() : eiitr'autres et spi'cialemcnt toutes celles, dont la valeur s'exprime au moyeTi des fonctions 

 Kuléricniies, et dont Ie nombre n'est pas petit, comme on Ie sait. Nous en employerons quelques- 

 unes pour parvcnir ;\ diverses 



Applications. On trouve Fartie III, Mélh. 4, N'. 6: 

 Faae 159. 



