ET BlÉTllÜDES Ü'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFIMES. II. III. 5. N^ 04, 65. 



Donc si Ton veut être coiuluit ;\ uiie série, qui ii'ofl're pas trop de difficultcs dans sou 

 usage, il importe aupris de cette methode, que Fiukigralc définie sous Ie signe de soininatiou 

 puisse être évaluée, de sorte que la sommatioti ne porte que sur des quautités fiuies. Or, il arrive 

 süuvcut que des iiitégrales d'uue telle fonne aient une valeur coiiuue : nous n'en preudrons que 

 quelques-unes, qui serviront ïi des transformations facilcs et simples. 



05. Applkatioim. Soit /(r) = i'(l — •«'"), alors on trouve Partie IIT, Mcth. 3, N'. 4 les 

 deux valeurs de l'intégrale détinic, qu'il faut employer daus Ie cas de n pair ou impair : 



|'-""''-M(l--^) = .^2 , ^WiJ..i/(l-.z-) = 



3.+1/2 



lei donc il faut distingucr eulre ces deux valeurs de n, de sorte que, au lieu de la formule (237) 

 OU a la suivante : 



'(/,f. . . (239) 



rt> o,n{:J«)(0) /'' OD ,,.(2'i+i)(()) r^ 



i /■(..). g. (px) d.V = ^ ^-^ f-" j f{.v) ..2« d^ + ^ L^—±J.p2n + l j /(,,) .,2«. 

 a ' tl tl 



A l'aide des intégrales détinies citées, — pourvu que les fouctions ff- {x) et x" cj. {j!)\/'{l — x^) soient tinies 

 entre les limites O et 1 de x, — ou trouvera maintenant: 



/•l oort,{2«)(0) l"/2 TT ^^ rf,(2'>-|-I)(0) 2"2 



o 



Tra, (i(2'0(0) IpV" '^ (}(2"+l)(0) 



2o(«+l)(l"/')M2J o(2n+3){3W2)2^ 



Soit eucore f [x] == , alors il faudra employer les intégrales définies, évaluées 



1/(1 — ■«^) 

 Partie III, Méth. 3, N". 4, égaleraent distinctes pour les valeurs paires et les valeurs impaires de n: 



-' «2«+i dj; 2"/2 



ƒ1 X^xdx l"/2 TT r' .g2,H 



l/(l_^.^-) ^^i~Z ' j 7^ 



X-) 3«/2 



lei donc il faut encore prendre la formule (239), et Ton trouve, pourvu que les fonctions ip (r) et 



3 " if (x) 



restent toujours finies entre les limites O et 1 de ar. 



\/(l—x'') 



l' c^{px)dx ^ ^ .pl2^(ü) .,^^ W2 ^ ^ ,^(2»+U(üj ^^^^_ 2^ _ 



O 



TT «.g:(2")(0) /p\2n 00 a,(2n+l)(0) 



2 0(1"/'}^ U) o {3«/^}^ ^ ^ ^ 



Lorsque dans uue des équations (2^.0) ou (241) la fonctiou if (x) est de telle uature que toutes 

 les derivées d'un ordre pair (j(2«) (.«), ou toutes celles d'uu ordre impair ij.i-"+^} (x) s'évanouissent 

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