II. III. o. N\ 65, 66. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



pour la valeur zéro de x, alors ces équations devieniient beaucoup plus simples en ce que la 

 sommatioii, correspondant a ces dérivées évanouies, disparait elle-même: et cette suppnsitioii se 

 vérifie souvent. 



Par exemple soit ƒ (a;) = e— ^', alors on trouve Partie III, Méth, 6, W. S: 



r ■> 1"'- 

 -X- ^.2n+i dx =: Q , I e-^'x-» d.r = \ tt. 



I e-x- a!2»+i dx =: O , I 

 avec la valeur spéciale 



ƒ 



e~^' dx ■■=•- \/ u . 



Pourvu doDC que qi{x) et a plus forte raison la fonction e~^- ip {x), soient finies pour toute valeur 

 de X (eutre les limites — x et + ^ )' '^o"^ pouvons faire usage du théorème (:i39). Mais ici 

 ia sommation répondant aux .)(2« + U(0) disparait, puisque l'intégrale qu'elles coiitiennent, s'évanouit : 

 doiic on a: 



["" „ »(;(2'0(0) „ l"/2 a> (f(2")(0) /»\2» 



ƒ c^[px)e-^\lx == ^ \, , p-^-^y^^ = V^^ y -1 (242 



.Siip])ósons encore f {x) ^= a;c~-^', alors on pent cmployer les mêmes intégrales que ci-dessus pour 

 n géiiéral, avec la valeur particuliere 



ƒ 



e— ^'" xdx = 0. 



Lorsqu'on veut y appliquer Ie théorème (239), on observe qu'ici toutes les intégrales s'évanouissent 

 sous la sommation qui comprend la dérivée (jp(2n) (0), et que par conséquent cette sommation dis- 

 parait de Téquatiou. Douc lorsque les fonctions (j [x], et a plus forte raison la fonction xe—'^ <ï>(^)» 

 resteut finies pour toutes les valeurs de x entre les limites — oo et + <^> 1^ formule (239) 

 donne : 



[^ , a>T(2«+I)(0) 1"2 oorj,(2n+l)(0) »2«+l 



/ .1 'n x) c-'^' X dx = :E ^»2«+i ^n^V^^- 7^-^— • [69]. ■ .(243) 



J "' ' o 1-"+'/' '^" o 1"'^ 2«+l '- -* ^ ' 



— co 



66. Jlais en général il ny a pas lieu de faire distinction entre les valeurs paires et les valeurs 

 impaires de n. Car soit f{x) = e—^, on trouve Partie III, Méth. 3, N°. 7 Tiutégrale définie 



I e-^.t"(te = 1" 1 ; 



'o 

 supposons que g; (.r) reste continue entre les limites O et cc de x, alors il en sera de même a 

 plus forte raison de e~'' ^y (x). Ln formule (237) nous dnniie ici: 



[69] Yoyez sur ces tliéorèmes Diengeu, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. 

 Pa?e 166. 



