II. III. 5, IV. N'. 66 — 68. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMTION, 



Dans ces deux A^uméros nous avons seulement employé Ie théorème {^o7) et celui qui y cor- 

 respond (239). Ji'usage de la formule (23S) mènera aux mèmes résultats: c'est-a-dire, que pour 

 'ï'(9 + P^} 3U lieu de cp{px) on n'a qua prendre sous les sommations (j(") (7) au lieu de 

 .,('0(0). 



67. Au commencemeut du paragrapbe actuel, au Numero 48, nous nous étions proposé de 

 traiter d'une maniere générale la question du déve'oppement en série d'uu facteur quelconque 

 d'une integrale dcfinie générale: et nous pouvons regarder la discussion relative si-non épuisée, du 

 inoius assez éteudue pour y mettre fin. De plus nous avous obtenu dans les paragraphes et dans 

 les chapitres précédents de cette Partie Deuxième diverses autres methodes. Donc on ne doit pas 

 s'étonner si par ces methodes si difi'érentes il nous arrive quelquefois de trouver les valeurs d'une 

 même integrale déünie évaluée sous diverses formes, par exemple sous celle d'une série et celle 

 d'un prnduit infini. L'identité nécessaire de tels résultats donne encore lieu a une nouvelle 

 métiiode de réduction. 



Par exemple, par Ie rapprochement des résultats de Méth. 3, N'. 9, et de Méth. 32, N'. 3 

 de la Partie lU, on déduit la relation suivante: 



1 (—11" « /2«+l\ 2a + l— 2m 



(P+«2)(3-+.B-)...{(2a+l)-+.r-} 2-^al2a+yi 0^ \ n j (2a-l-l— 2n)--l-a.-2' 



^ ' •^(— 1)"' 



.r-(2^ +a;2)(-r- +^'^)... (4a--|-.«2) 22«-ll2a,i q \ n j {2 a -2ny -\-ic- 



JMultiplions de part et d'autre par f{x) dx et intégrons entre les limites i et c de x, alors il 



vient: 



ƒ (l+«ï)(3ï+a;^)...((-2a-f-l)'^H-^-) 22«12''+i/l q ^ '\ n J" " ■' / (2a-l-l— 2n)2+a;^ . • (248) 



b 'c 



r f{x)xdx (— ])" " /2a\ r* f[x)xdx ^„^^ , 



I LLjL^ ^_J L_^(_])« ƒ — --^^ r. [71]. (249) 



j a;^(2' + ^2)(42+A--^)...(4aï-)-.T2) o2a-\ [oan '^ ^\n{2a—2ny-^x^ l j v ; 



( HAPITRE QUATIUÈME. 



RÉDÜCTIOA DE QUELQIES INTÉGRATIOIVS DOUBLES. 



08. Quoique la considération des intégrales doubles n'entre pas en géuéral dans Ie but qu'on 

 se propöse jci, il arrive néanmoins souvent, que les transformations de ces fonctions donnent lieu 

 a des relations, qui peuvent servir dans la theorie des intégrales définies ordiuaires. Mais par-la 



[71] ScHLöMiLCH, Gnmert's Archiv, Bd. 7, S. 38. 

 Pase 168. 



