ET METHODES DEVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. IV. N'. G8, 69. 



nième c'est esseiitiellement d'uiie inniiière tros-indirectc, que 1'on parvient u de tels résuUats dans 

 Ie cours de la discussion h. Fégaid de quelque integrale doublé. Nous nous contenterons donc ici 

 de l'exposition de quelques-unes de ces léductioiis, oïl l'ou pourra juger en mêine temps de la 

 diversité des methodes, qui servent h, les faire trouver. 



09. Dans Tintégrale doublé, très-renommée a cause des discussions et des objections auxquelles 

 elle a douné lieu. 



l.l 



a „i — .^2 



— f (ai) dx. 



il y a discontinuité dans Ie cas, oü x ei y deviennent simultanémcnt zéro et seulemcut dans ce 

 cas; et Ton a vu (N\ 46, P. I) que dans une telle occasion il n'est pas permis d'invertir l'ordre 

 des iutégrations, sans qu'on ait égard a la correction quil faut y ajouter. Mais lorsqu'on effectue 

 l'intégration par rapport a y entre les liniites 8 et oo, oü ö peut avoir pour limite définitive une 

 quantité aussi petite que Ton veut, cette difficulté disparaït, vu que dès-lors Ie poiiit de discontinuité 

 ne se tiouve plus entre les limitcs de rintégration doublé. Il est donc permis d'e'crire: 



ƒ'" ra ,, - j.i ra /"'^ w ' X ■' 



J o o J 



oü l'ordre des iutégrations est inverti maintenant. L'iutégrale par rapport a y peut être évaluée 

 til premier lieu comme integrale indcfinie. Car 



] 





+y- 



]y^-^x^ y^-^a:^^ Jy-'+x^ j/^+.r^ 



Cclle-ci dbnne pour la limite supérieure x de y ^ = O, et pour la limite inférieure d elle 



00 4- 



' 00 



— s 



devient , donc: 



8^ + a:^ 



•a S 



f- 



Maintenant développons la fouctiou f [x) suivant Ie théorème de Maclaüein dans la somme 

 f{0)-\'xf'{6.v), oü 0<^S<^1; alors on trouvefa successivement: 



/■".,, , ^ ddx f" Sdx ["■ Sxdx , [^ x 



"o o o 'o 



+ 2'' r/(9.rj<U(c!^+.T;^) =/(0) j/lr<;(^.^ - .lrc<</. oj ^U^f {Ox).d.öl{a' + x^) . . (250) 



Page 109. 22 



■ffIS- EN NATDURK. VEEU. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



