II. IV. N'. 69, 70. THEORIE, PROPfilETÉS, FOUMüLES ÜE TRANSFORM VTION, 



Jusqu'ici la valeur de 8 est considérée comme eiitièrement arbitraire: voyons si, après les déve- 

 loppeineuts et les transformatious que notre formule a déja subis, il y a lieu d'attendre quelque 

 résultat défiui pour la valeur O de ö. A priori on peut l'espérer, puisque l'on fait usage ici du 

 même développement, qui dans la Première Partie N\ 30 nous a conduit a la correction a faire 

 dans Ie cas de discontinuité. Or, puisque ƒ {.v) doit être linie entre les limites O et a de a', afin 

 que la fonction f{x) soit continue dans l'intégrale en question entre ces mémes limites, — et il 

 va sans dire que cela est supposé tacitement dans la discussion précédeute, parce quautrement 

 l'intégrale définie 1 n'aurait pas de valeur finie, — la valeur f' (6 x) doit rester finie de même: il 

 reste par suite u décider de la valeur que la fonction dl{§- -(- x'^) acquiert pour la limite zéro de Ö. 

 Elle est toujours O.l(x-) c'est-a-dire zéro, excepté dans Ie cas oü x est aussi zéro, car alors l'expres- 

 sion mentionnée devient: 0.Z0 = 0. co, c'est-a-dire indéterminée ; il faut donc en déterminer la 

 valeur de la maniere ordinaire : 



2d 



ö-i — Ö-2 8-'-\-x^ 



(Jr, la fraction devient 1'unité pour la valeur zéro de .r : l'autre facteur 8, diminuant vers zéro, 



annonce donc que la fonction 81 [8- -j- x'^) s'évanouit avec <^", même pour la valeur spéciale 



zéro de .r. 



Maintenant, passons a la limite zéro de 8 dans la formule (250), alors dans la doublé integrale 



1'intégration par rapport a ^ se fait entre les limites O et qc. D'une autre part, au dernier membre 



de réquation l'intégrale définie doit s'anuuler, comme il a été prouvé précédemment, tandis que Ie facteur 



a . 7t 



Arctg.— devient Arctg. cc ou -. Par conséquent on a entin : 



j\j'. 



(y' -\-x^) 



■f{x)cLv^ -/(O) , 0<a<^; [72] (251) 



et ici la valeur de a est indéterminée et peut être tout-aussi bien l'intini, vu que cela u'influe en 

 rieu sur la discussion précédente. La condition, que /(ir), aussi bien que f (x), est continue entre 

 les limites O et a de x, était nécessaire, comme on l'a vu. 



70. La même methode peut s'appliquer a l'intégrale doublé 



P'l' 



(p e—P'^!/ — q e-1'^'J)f{x) dx. 



La fonction intégrée reste continue et linie avec ƒ (.e) pour toutes les valeurs de o- et de ^ entre 

 les limites de ces variables; mais pour la limite supérieure de y elle-même e-i'^u et e-9^'J s'annu- 

 lent tous deux; ainsi Ie changement dans l'ordre des intégrations pourrait donner lieu ici a des 



[72] ScHLÖMiLCH, Grimcrt's Arcliiv, Bd. 11, S. 63. 

 Pase 170. 



